Вывод уравнения гармонического колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Колебаниями называется процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качели, ветка дерева, фазы луны, морские приливы и отливы, пульсовая волна, сердце, гортань…). В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Колебания широко распространены в природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе таких отраслей техники как электротехника, радиотехника и.т.д).

Во многих случаях колебания играют негативную роль (вибрации крыльев самолёта, корпусов судов, зданий и сооружений из за резонанса с работающим там оборудованием), что необходимо учитывать при их изготовлении.

В зависимости от физической природы колебания бывают механические и электромагнитные. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему, различают: свободные, (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

1. Свободные колебания, совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. (Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.).

2. Вынужденные - система подвергается воздействию внешней, периодически изменяющийся силы (колебание моста при прохождении солдат, идущих в ногу).

3. Автоколебания - система сама управляет внешним воздействием (маятник часов получает толчки в момент прохождения её через среднее положение).

4. Параметрические колебания - происходит периодическое изменение какого- либо параметра системы за счет внешнего воздействия (например длины нити математического маятника).

Простейшими являются гармонические колебания – происходящие по закону sin и cos.

Этот вид колебаний важен по двум причинам:

1. колебания в природе и технике часто близки к гармоническому.

2. иные периодические процессы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Выведем уравнение гармонического колебания при помощи установки, состоящей из экрана и вращающегося диска с закреплённым на нём непрозрачным шариком.

А w

M

x x А

свет

О o

-А

Пусть материальная точка М движется против часовой стрелки по окружности радиусом А. Тогда её проекция на экране совершает периодические колебания около положения равновесия в пределах от А до -А.

Выразим величину смещения x в любой момент времени:

- уравнение гармонического колебания.

Так как диск вращается с угловой скоростью w, то . Подставим значение в уравнение гармонического колебания:

- уравнение гармонического колебания.

Если диск совершает полный оборот ;

Основные характеристики гармонического колебания:

1 x - смещение- отклонение от положения равновесия в данный момент времени (может быть >0 и <0)/

2 A – амплитуда - максимальное отклонение от положения равновесия.

3 T- период - совершения одного полного колебания.

4 wt - фаза колебания - характеризует состояние колебательной системы в любой заданный момент времени.

5 v- частота- число колебаний в единицу времени.

Если к началу наблюдения фаза имела некоторое начальное значение , то уравнение запишется:

- гармоническое колебание с начальной фазой.