Свободные гармонические колебания. Гармонический осциллятор.

Периодические колебания называются гармоническими, если они описываются законами sin или cos. Любая колеблющаяся система, любой физический процесс, описываемый законами sin или cos называется гармоническим осциллятором или просто осциллятором.

Примеры:

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

Первоначально система находится в равновесии

Систему вывели из положения равновесия на . Деформация будет .

По второму закону Ньютона Преобразуем выражение к виду . Обозначим . Получим . Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно описывает колебания

груза на пружине. Решение его есть

,

,

что проверяется непосредственной подстановкой.

Физический маятник – это любое твердое тело, колеблющееся относительно оси, не проходящей через его центр.

Если ось проходит через центр тяжести, то тело находится в состоянии безразличного равновесия и колебаться не будет. Ось вращения проходит через точку О. Центр тяжести

Находится в точке С. ОС =а, - угол поворота. В точке С приложена сила тяжести, в точке О – сила реакции, она направлена вертикально вверх. Поскольку она проходит через ось вращения, то ее момент равен нулю. Вращающий момент создает сила . . Этот вращающий момент стремится вернуть тело к положению равновесия.

По второму закону Ньютона

Знак (-) означает, что тело стремится в равновесие. Теперь

.

Это нелинейное дифференциальное уравнение, в него входит . Поэтому в общем случае физический маятник колеблется не по гармоническому закону. Рассмотрим частный случай, когда мало и = . Тогда

, , , .

Уравнение

- это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно описывает гармонические колебания.

Это частный случай физического маятника. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. (Груз, подвешенный на нерастяжимой длинной нити, размерами груза по сравнению с длиной нити можно пренебречь): - формула Гюйгенса.

При многих расчетах удобно представить формулу периода физического маятника как математического. Вводят приведенную длину физического маятника

.

Тогда

.

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого маятника, период колебания которого равен периоду колебания данного физического маятника. Экспериментально, введя , определяют любого маятника. Подбирают длину математического маятника, чтобы . Тогда . Определяя и , находят .

Продолжим рассмотрение гармонических колебаний.

1) - смещение колеблющегося тела от положения равновесия в любой момент времени (или значение осциллирующего параметра в момент времени ).

2) - амплитуда – максимальное отклонение от положения равновесия, или максимальное значение осциллирующего параметра, всегда.

3) - фаза колебания, измеряется в радианах, фаза определяет значение осциллирующего параметра в любой момент времени. - начальная фаза в нулевой момент времени.

4) - собственная циклическая (круговая) частота.

Связь и .

Рассмотрим значение осциллирующего параметра в моменты и , где - период. По определению они должны быть одинаковы.

,

,

= .

- наименьший промежуток времени, через который смещение повторилось. Поэтому аргументы могут отличаться на .

, ,

, , , ,

- число колебаний за 1 с, - число колебаний за с.

=

- амплитудное значение скорости

Скорость опережает смещение по фазе на .

=

Сдвиг фаз между и равен , они колеблются в противофазах.

«МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ» План лекции

 

1. Колебательное движение. Гармоническое колебание.

2. Скорость и ускорение гармонического колебания.

3. Энергия гармонического колебательного движения.

4. Свободные колебания. Гармонический осциллятор.

5. Пружинный, математический и физический маятники.

6. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

7. Примеры проявления резонансных явлений в живых организмах.

8. Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Сложение

 

1. Колебательное движение. Гармоническое колебание.