Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Деформацией при кручении является угол закручивания вала . Согласно формуле (6.8), имеем:

 

.

 

.

 

.

Пример: М ₂ = 20 кг×м; М ₃ = 40 кг×м; М ₄ = 30 кг×м; М ₁ =? (рис. 6.6).

Из условия равновесия:

 

;

 

 кг×м.

 

I сечение:

 

20 кг×м.

 

II сечение:

 

–70 кг×м.

 

III сечение:

 

–30 кг×м.

 

 – начало построения.

 

;

 

;

 

Рис. 6.6

а

а

а

М 4

М 3

М 2

М 1

М кр, кг×м

 

 

.

6.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом вале не должны превышать допускаемых напряжений. Условие прочности имеет вид:

 

.

 

А с учетом формулы (6.10) условие прочности выглядит следующим образом:

 

.

 

После этого определяется диаметр вала в соответствии с формулой (6.12). Для стальных валов 20 … 40 МПа.

В технологическом оборудовании недостаточная жесткость на кручение элементов конструкций приводит к нарушению точности обработки изготавливаемых изделий.

Условие жесткости при кручении:

 

,

 

где допускаемый относительный угол закручивания на длине 1 м. Или

 

,

где 1 м.

После расчета  определяется диаметр вала по формуле (6.11).

Если  задан в градусах, то перевод в радианы осуществляется так:

 

.

Вопросы для самопроверки

К разделу 6

1. Как направлены касательные напряжения в точке при кручении стержня с круглым поперечным сечением?

2. Каков порядок определения максимальных касательных напряжений в конструкции при кручении?

3. Какой тип поперечного сечения является наиболее экономичным по расходу материала при кручении?

4. Какие перемещения возникают при кручении валов?

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Кинематика – раздел, изучающий движение материальной точки и абсолютно твердого тела без учета сил, это движение вызывающих.

 

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

В теоретической механике изучаются простейшие формы движения – механическое движение, т.е. происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом. Она может быть как движущейся, так и условно неподвижной.

Основное положение кинематики: Движение точки считается заданным, если мы можем в любой момент времени определить положение точки в пространстве. Движущаяся тока описывает в пространстве некоторую линию. Эта линия, представляющая собой геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией точки.

Изучение движения точки заключается в определении основных характеристик этого движения:

Положения точки в выбранной системе отсчета;

Ее скорости и ускорение в любой момент времени.

Существует несколько способов задания движения тела:

1) Естественный, который предполагает, что движение точки определено, если известны следующие элементы (рис. 7.1):

Траектория точки в виде прямой или кривой линии;

Начало и направление отсчета координаты;

Уравнение движения в виде

.                             (7.1)

2) Векторный способ задания движения – положение точки в пространстве, в этом случае определяется заданием радиус – вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М (рис. 7.2).

Для определения положения точки необходимо знать как изменяется с течением времени вектор , т.е.

.

 

                                                                                 Рис. 7.1

Рис. 7.2

3) Координатный способ – положение точки в системе координат (x,y,z) определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, и z. При движении точки её координаты изменяются с течением времени. Они являются функциями времени t.

 ;   ; . 

Движение в одной плоскости определяется двумя координатами, а прямолинейное движение одним уравнением:

 .

 При этом координатный способ сводится к естественному.

 

СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

При векторном способе задания движения точки вектор скорости в данный момент времени равен производной от радиус – вектора точки по времени:

 .                                                                                            (7.2)

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рис. 7.3).

 

 

Рис. 7.3

При естественном способе задания движения точки вектор скорости определяется:

.

В этой зависимости производная представляет собой проекцию скорости v на касательную, т.е. определяет алгебраическую величину скорости. - единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений S. Вектор касательной всегда направлен в сторону увеличения координаты (рис. 7.4).

Определим скорость точки при задании ее движения координатным способом. Пусть заданы уравнения движения точки в виде:

 ;   ; . 

Обозначим единичные векторы касательной (орты) осей координат через

 

 

Рис. 7.4

 Проведем из начала координат точки О в движущуюся точку М радиус вектор ОМ, тогда:

или .

Скорость точки равна производной от радиус – вектора по времени. Найдем эту производную, учитывая, что орты имеют неизменные модули и направления и могут быть вынесены за знак производной.

.

Построив прямоугольный параллелепипед, оси которого параллельны осям координат, а диагональ совпадает со скоростью , получим проекции скорости  на оси координат равные алгебраическим значением отрезков Ma, Mb, Mc, тогда:

.

Т.е. проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

При данном варианте задания движения точки её ускорение равно второй производной от радиус – вектора по времени

                                         .         (7.3)

а с учетом того, что:

.

Получим:

 

.

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

При задании движения векторным способом ускорение точки, характеризующее быстроту изменения модуля и направления скорости точки, равно первой производной от скорости или второй производной от радиус – вектора точки по времени:

.

При задании движения естественным способом, ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением , а другой направлен по касательной, и называется касательным ускорением точки      (рис. 7.5).

Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном движении точки М и характеризует изменение направления вектора скорости.

Рис. 7.5

Касательное ускорение существует лишь при неравномерном движении и характеризует изменение модуля скорости.

 

ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Различают пять видов движения твердого тела:

Поступательное;

Вращательное;

Плоское или плоско – параллельное;

Сферическое;

Общий случай движения.

Поступательное и вращательное движение называются «простейшими» движениями твердого тела.

Поступательное движение - это такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле остается во время движения параллельной своему начальному движению. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Это позволяет свести изучение поступательного движения тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки.

Вращательное движение - это такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой неизменно связанной с телом, остаются неподвижными.

Уравнение вращательного движения тела полностью определяет его положение в любой момент времени:

т.е. угол поворота φ есть функция времени. Величина, характеризующая изменение угла поворота φ во времени называется угловой скоростью тела.

 .                  

 Аналогично угловое ускорение:

.

 

Вопросы для самопроверки

К разделу 7

1. Что изучает кинематика?

2. Какие существуют способы описания движения материальной точки?

3. Как определяется скорость движения при естественном способе задания движения?

4. Запишите формулы для определения касательного, нормального и полного уравнений?

5. Как направлена средняя скорость точки за некоторый промежуток времени?

6. Запишите формулы, определяющие модуль и направление скорости точки при координатном способе задания ее движения.

ДИНАМИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от действующих на них сил.

Под динамической нагрузкой понимают два вида напряжений: 1) напряжения в движущихся деталях; 2) напряжения при ударе.

Расчет на действие динамической нагрузки производят при проектировании частей конструкций, находящихся под действием ударной и вибрационной нагрузки, создаваемой станками, двигателями, молотами и другими механизмами. Эти нагрузки вызывают колебания сооружений. Многие части машин также находятся под действием динамической нагрузки.

  Цель динамического расчета: обеспечение необходимой прочности конструкции и недопущение значительных деформаций.

При динамической нагрузке любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил, усилий, представляющих собой действие соседних элементов и сил инерций. Это положение носит название принципа Даламбера.

Задача рассмотрения этих видов нагружения сводится к получению зависимостей, связывающих их со статической нагрузкой. Рассмотрим некоторые варианты нагружения.