Уточненные расчеты на прочность при изгибе

При уточненных расчетах на прочность необходимо оценить влияние не только нормальных напряжений, но и касательных, при этом важно определить точку в поперечном сечении, в которой влияние этих напряжений наиболее значительно. Для этого необходимо научиться правильно строить эпюру касательных напряжений в поперечном сечении балки.

Рассмотрим случай построения эпюры касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении. Пусть в этом сечении действует поперечная сила  (рис. 5.13).

Момент инерции сечения относительно горизонтальной оси  определяется зависимостью

 

.

 

Для определения величин касательного напряжения в точке  необходимо провести через эту точку прямую, параллельную оси .

Определим статический момент отсеченной части сечения (это произведение площади отсеченной части на расстояние от нейтральной оси до центра части отсеченной части):

 

.

	t

x

y

h

b

tmax

Рис. 5.13

 

Подставим в формулу касательных напряжений полученные выра-
жения:

 

.                                 (5.11)

Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяются по закону квадратной параболы.

При  напряжение . Наибольшее напряжение при , т.е. на нейтральной оси

.

Вопросы для самопроверки

К разделу 5

1. Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении при плоском изгибе?

2. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении по методу сечений?

3. Как вычисляется поперечная сила по методу сечений?

4. Какова дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и распределённой нагрузкой?

5. Почему нормальные напряжения при чистом и поперечном изгибе определяются одинаково?

6. На каком законе основан вывод формулы Журавского?

7. Почему касательные напряжения в большинстве случаев не используются для оценки прочности при поперечном изгибе?

 

Кручение

Под деформацией кручения понимают деформацию стержня, при которой в поперечном сечении из всех внутренних усилий возникает только крутящий момент.

Метод сечений при кручении:крутящий момент в произвольном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных по одну сторону от сечения.

 

При расчетах на прочность и жесткость, знак крутящего момента не имеет принципиального значения, поэтому он может быть выбран произвольно, но его необходимо придерживаться до конца решения задачи.

Определение:Стержень, работающий на кручение, называется валом.

6.1. Вывод формулы для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого сечения

Теория кручения брусьев круглого или кольцевого сечения основана на следующих положениях:

1. Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения вала, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации. Они лишь поворачиваются вокруг оси вала.

2. Радиусы, проведенные в сечении, остаются прямыми и не изменяют своей длины.

3. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформаций остаются постоянными.

Уравнение равновесия при кручении (рис. 6.1) имеет следующий вид:

 

,                                     (6.1)

 

где t – касательное напряжение, возникающее в поперечном сечении вала.

 

dF

r

t

 

     Рис. 6.1

                

 

dz

r + d r

r

Рис. 6.2

Выделим из окружности в поперечном сечении вала бесконечно-малый элемент и рассмотрим его деформацию. При этом элемент определяется двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстояние  друг от друга. Из него выделяется двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами  и  элементарное кольцо (рис. 6.2).

Выделим из кольца элемент двумя плоскими сечениями, проходящими через ось и образующими между собой угол  (рис. 6.3).

 

Рис. 6.3

d a

d r

 

 

Рис. 6. 4

d a

d j

g

Правое торцевое сечение поворачивается относительно левого на угол , а образующая  поворачивается на угол , если считать  началом отсчета (рис. 6.4).

Согласно схеме деформаций:

 

;                                            (6.2)

 

.                                            (6.3)

 

Приравняем уравнения (6.2) и (6.3):

 

;

 

,                                            (6.4)

 

где  – называется относительным углом закручивания двух смежных сечений. Эта величина аналогична относительному удлинению при растяжении-сжатии .

Элемент  работает в условиях чистого сдвига, а закон Гука при чистом сдвиге имеет вид

 

,                                             (6.5)

 

где модуль сдвига (характеристика материала вала).

Подставим выражение (6.4) в (6.5):

 

.                                          (6.6)

 

Подставим выражение (6.6) в (6.1):

 

;                   (6.7)

 

,

или

 

.                                         (6.8)

Подставим (6.8) в (6.6):

.                                    (6.9)

 

В поперечных сечениях вала при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром тяжести сечения. Значение этого напряжения прямо пропорционально расстоянию до центра тяжести. Следовательно, в центре, при , касательные напряжения равны нулю, а в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности вала, они максимальны. График изменения касательных напряжений, вдоль какого-либо диаметра носит линейный характер (рис. 6.5).

	t

 

Рис.6.5

Наибольшее напряжение в непосредственной близости от наружной поверхности вала можно получить путем подстановки в выражение (6.9) вместо величины  расстояние :

 

,                                                                                  (6.10)

 

где полярный момент сопротивления поперечного сечения;

 

.

 

Выражается  в см³, м³.

Для круглого сечения:

 

;                                   (6.11)

 

.                                  (6.12)

Деформации при кручении.