Дифференциальные зависимости при изгибе

Выделим из балки, находящейся под действием системы сил, бесконечно малый элемент двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии  друг от друга (рис. 5.5). Слева действуют внутренние усилия  и , справа и , а также на всем протяжении элемента распределенная нагрузка .

Рис. 5.5

 

Составим уравнение равновесия элемента в виде суммы проекций на вертикальную ось:

 

;

 

;

 

.                                             (5.1)

 

Первая производная от поперечной силы по абсциссе z равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки.

Составим уравнение равновесия элемента dz в виде суммы моментов всех сил относительно точки O:

 

;

 

.

 

Отбрасываем бесконечно малые величины второго порядка:

 

и ;

 

;

 

.                                          (5.2)

 

С учетом выражения (5.1), имеем

 

.

 

Вторая производная от изгибающего момента по абсциссе z равна интенсивности распределенной нагрузки перпендикулярной оси балки.

Особое значение имеет формула (5.2), так как она позволяет исследовать эпюру  на экстремум.

Некоторые выводы из дифференциальных зависимостей

1. Тангенс угла между касательной к линии ограничивающей эпюру  и нулевой линией равен перерезывающей силе .

2. На тех участках балки, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает, а на участках, где она отрицательна – изгибающий момент убывает.

3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы , тем круче линия, ограничивающая эпюру . Следовательно, на участке балки с возрастающими в алгебраическом смысле значениями , линия, ограничивающая эпюру , обращена выпуклостью вверх.

4. На участке балки, где поперечная сила имеет постоянное значение, эпюра  ограничена прямой линией.

5. Если на границе соседних участков балки эпюра  не имеет скачка, то линии, ограничивающие эпюру  на этих участках, сопрягаются без перелома, т.е. имеют в точке сопряжения общую касательную.

6. Если на границе соседних участков балки в эпюре  имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру  на этих участках, сопрягаются с переломом, т.е. не имеют в точке сопряжения общей касательной.

7. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в тех сечениях балки, где  равно нулю; касательная к линии, ограничивающей эпюру , в этом сечении параллельна оси эпюры.

8. На участках действия распределенной нагрузки q поперечные силы изменяются по длине балки; эпюры  на этих участках ограничены кривыми.

9. На тех участках балки, где распределенная нагрузка отсутствует, поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону.