Растяжение и сжатие стержня и стержневых сиСтем

 

Растяжение-сжатие прямого бруса

 

Различают простое и внецентренное растяжение-сжатие (рис. 3.1). При простом, линия действия силы совпадает с осью бруса. Если не совпадает, а параллельна ей, то это – внецентренное растяжение-сжатие.

 

 

Рис. 3.1

 

Из уравнения проекций на вертикальную ось имеем:

 

,                                               (3.1)

 

где Р – внешняя сила; N – внутреннее усилие.

Метод сечений:для нахождения внутренних усилий тело мысленно разрезают на две части и рассматривают равновесие той части, которая не соприкасается с заделкой.

При растяжении-сжатии гипотеза плоских сечений дополняется еще одним пунктом: в поперечных сечениях достаточно далеко удаленных от точки приложения сил нормальные силы распределяются по сечению равномерно, а касательные отсутствуют.

Нормальное напряжение характеризует величину внутренних усилий приходящихся на единицу площади сечения:

 

.                                            (3.2)

 

Правило знаков: нормальные усилия и напряжения положительны при растяжении и отрицательны при сжатии.

Условие прочности при растяжении и сжатии

 

,                                         (3.3)

 

где  – допускаемое нормальное напряжение (справочная величина, физико-механическая характеристика материала). Это наибольшее напряжение, при котором материал конструкции может надежно и долго работать.

Решая совместно уравнения (3.2) и (3.3), имеем

 

.                                          (3.4)

 

Это уравнение прочности при растяжении-сжатии. С его помощью возможно решение трех типов задач, но наиболее часто решается задача подбора площади сечения F при известных значениях N и . Тогда

 

.                                                  (3.5)

Например, для круга

; .

 

Для прямоугольного сечения должно быть задано соотношение сторон:

 

; ; ,

 

где h – высота; b – основание.

Значение продольной силы в каждом частном случае можно легко определить с помощью метода сечений. Для нахождения напряжения  в каждой точке поперечного сечения, необходимо знать закон распределения по сечению, который обычно изображается графиком, показывающим их изменение по высоте балки (эпюра нормальных напряжений).

 

Определение деформаций при растяжении-сжатии

Нормальным напряжениям соответствует деформация растяжения-сжатия, а касательным – сдвиг.

Прямой брус длиной l и нагруженный силой P удлиняется на величину D l (рис. 3.5):

 

,

 

где  – абсолютная деформация бруса (полная деформация).

 

Рис. 3.5

 

Линейную деформацию  называют относительным продольным удлинением:

.                                               (3.6)

Происходит также изменение поперечных размеров бруса. Относительная поперечная деформация может быть рассчитана по формуле

 

.

 

Экспериментально установлено, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, выполняется уравнение:

 

;

 

,

 

где коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), который определяется экспериментально и изменяется в пределах от 0 – для пробки, до 0,5 – для резины; для стали .

Установлено, что когда напряжение в брусе не превышает предела пропорциональности, выполняется условие

 

,                                              (3.7)

 

где Е – коэффициент, зависящий от физических свойств материала (модуль упругости).

Параметр Е, наряду с m, характеризует упругие свойства материала.
В системе СИ измеряется в паскалях [Па].

Для стали  кг/см²; для меди  кг/см²; для условного дерева  кг/см².

Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса а, учитывая что , уравнение (3.7) примет вид

 

 ,                                            (3.8)

или

.                                           (3.9)

 

Абсолютное удлинение бруса выражается зависимостью, полученной из (3.6) и (3.7):

 .                                     (3.10)

 

Формулы (3.8) – (3.10) являются математическим выражением закона Гука, который звучит так: абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе (при постоянной жесткости сечения EF); или относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.