Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

 

Доверительный интервал для оценки математического ожидания можно представить в виде (2.16):

 

 (2.16)

 (2.17)

 

где t_γ – квантиль нормального распределения, который определяется по статистическим таблицам.

Границы доверительного интервала вычислены по формулам (2.18-2.19).

 

, (2.18)

, (2.19)

 

Значение математического ожидания  входит в доверительный интервал. Доверительный интервал для дисперсии определяется так же, как и для математического ожидания и имеет вид (2.20):

 

Iγ=(Dn-ε, Dn+ε), (2.20)

 

где ε вычисляется по формуле (2.21):

 

, (2.21)

 

где Dd – дисперсия оценки Dn (2.22).

 

, (2.22)

 

Конечные формулы границ доверительного интервала имеют вид (2.23-2.24):

 

,  (2.23)

,  (2.24)

 

Несмещённая оценка входит в доверительный интервал.

 

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

 

Критерий Пирсона имеет вид (2.25):

 

, (2.25)

 

где ν_k – число точек в k-ом интервале гистограммы (частота попадания)

p_k – теоретические вероятности попадания точек в k-ый интервал, которые могут быть вычислены по формуле (2.26)

n – объём выборки случайной величины

К – количество интервалов

 

 (2.26)

 

где f(х) – плотность вероятности теоретического распределения (2.10).

Границы интервалов можно вычислить по формулам:

 

, ,

 

где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение реализации случайного процесса.

Для определения частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по переменной Х воспользуемся формулой (2.27):

 

, (2.27)

 

где k=1..K – номер интервала,

uk – точки, лежащие на границе интервала,

Статистика критерия Пирсона .

Табличное значение статистики при уровне значимости α=0.01 и количестве степеней свободы ν=9 вычисляется с помощью встроенной функции Mathcad (2.28):

 

,  (2.28)

 

Очевидно, что . Это значит, что гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.

Таким образом, в данной главе была построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, найдены математическое ожидание , дисперсия .

Построен доверительный интервал для математического ожидания. Его границы и .

Теоретическое математическое ожидание  попадает в доверительный интервал.

Построен доверительный интервал для дисперсии. Его границы и .

Теоретическое значение дисперсии  попадает в доверительный интервал.

Найдена статистика Пирсона . Произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .

Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 2».