Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону

Построение гистограммы распределения

 

Дана функция (2.1), в которой необходимо сначала определить неизвестный коэффициент, а затем вычислить функцию распределения.

 

f(x)=b(3-x), b>0, 1<x<2, (2.1)

 

Для этих вычислений воспользуемся методом обратной функции. Для вычисления неизвестного коэффициента (параметра) воспользуемся проверкой условия нормировки (2.2):

 

 (2.2)

 

Подставив данную для исследований функцию, получаем:

 

, (2.3)

 

Прировняв полученное выражение к единице, находим параметр b:

 

b=2/3 (2.4)

 

Подставив найденный параметр в начальную функцию, получаем:

 

 (2.5)

 

Далее необходимо вычислить функцию распределения

 

 (2.6)

 

где u – случайная величина, распределённая на отрезке [0;1]

x1 – нижний предел функции f(x)

Для функции (2.1) получаем:

 

 (2.7)

 

При решении уравнения (2.7) получаем неопределённость:

 

 (2.8)

 

Для выбора искомой функции, необходимо проверить принадлежность х интервалу (1;2) при крайних значениях u. После проверки один вариант функции (2.8) отсеялся, функция (2.8) приняла вид:

 

 (2.9)

 

Получили закон распределения

 

.

 

Тогда за теоретическую плотность распределения принимается функция (2.5). Остальные вычисления аналогичны первому разделу.

Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса:

 

, .

 

Промежуточные вычисления для построения гистограммы определяются как в предыдущем разделе:

 

 (2.6)

 (2.7)

 

где  и - границы интервала,

 - частота попадания выборочных величин в интервал ()

n – объём выборки

 - высота прямоугольника на графике

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:

 

 (2.8)

 

где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:

 

 (2.9)

 

На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону:

 

 (2.10)

 

В итоге получится гистограмма распределения (см. график 2) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.

 

График 2 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения

 

Определение выборочной оценки математического ожидания и дисперсии

 

Вычисление выборочного среднего производиться по формуле (2.11):

 

 (2.11)

 

Тогда выборочную дисперсию можно рассчитать по следующей формуле (2.12):

 

 (2.12)

 

Для дисперсии в качестве несмещенной и состоятельной оценки используется величина (2.13):

 

 (2.13)

 

Теоретические значения математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам (2.14-2.15):

 

(2.14)

(2.15)

 

 

Теоретические значения должны попадать в доверительные интервалы.