Построение гистограммы распределения

 

Для получения реализации последовательности независимых случайных величин с произвольным распределением используют реализации последовательности независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Случайные равномерно распределенные величины генерируются специальной программой, входящей в математическое обеспечение компьютера, и называемой датчиком случайных чисел.

При моделировании нормально распределенной случайной величины на основе равномерно распределенных величин чаще всего используется центральная предельная теорема:

Пусть  последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение вероятностей с конечным математическим ожиданием . Тогда при  имеем:

1) случайная величина , вычисляемая по формуле (1.1), сходится по вероятности к

 

 (1.1)

 

2) случайная величина  имеет асимптотически нормальное распределение вероятностей с центром  и дисперсией, вычисляемой по формуле (1.2), при условии, что существует общая дисперсия  величин .

 

 (1.2)

 

На основании центральной предельной теоремы рассмотрим сумму

 

,

 

где  - совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин на отрезке R[0,1].

Известно, что каждая из случайных величин  с распределением R[0,1] имеет математическое ожидание (1.3) и дисперсию (1.4).

 

 (1.3)

 (1.4)

 

Тогда согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий

 

,

.

 

Следовательно, случайная величина (1.5) имеет математическое ожидание  и дисперсию  и при  ее распределение стремится к нормальному.

 

 (1.5)

 

В данной работе дано количество слагаемых в сумме N, задано математическое ожидание  и стандартное отклонение  выходной случайной величины y. Если известна случайная величина с распределением N[0,1], то случайная величина с распределением N[ ] получается в результате линейного преобразования

 

 (1.6)

 

Гистограмма распределения представляет собой удобный способ представления статистических данных. Гистограмма строится следующим образом:

Пусть имеется выборка случайной величины объемом n: . Из этой выборки определяются минимальные (1.7) и максимальные (1.8) значения:

 

 (1.7)

 

При данных условиях

 

 (1.8)

 

При данных условиях

Весь отрезок [A,B] разбивается на K интервалов, как правило, одинаковой длины.

Число интервалов при построении гистограммы не должно быть слишком большим и слишком малым. При большом количестве интервалов в гистограмме обнаруживаются незакономерные колебания. На практике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5-10 точек. Предварительный выбор количества интервалов можно сделать по правилу Стургенса:

 

 (1.9)

 

где n – объём выборки,

() – операция взятия целой части от действительного числа Если число точек в интервале слишком мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы и пересчитать гистограмму.

Найдя количество интервалов разбиения, можно вычислить длину каждого интервала по формуле:

 

 или

 (1.10)

 

Для построения гистограммы нужно частоту попадания случайных величин x_k в каждый интервал [ ) разделить на его длину  и полученную величину взять в качестве высоты прямоугольника на графике. Причем последний интервал необходимо рассмотреть как отрезок. Таким образом, описанное правило можно изобразить математически:

 

 (1.11)

 (1.12)

 

где  и - границы интервала,

 - частота попадания выборочных величин в интервал ()

n – объём выборки

 - высота прямоугольника на графике

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:

 

 (1.13)

 

где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:

 

 (1.14)

 

На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону

 

 (1.15)

 

В итоге получится гистограмма распределения (см. график 1) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.

 

График 1 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения