Тема 8. Система параллельных сил.

а) Параллельные силы направлены в одну сторону.

Рассмотрим твердое тело, на которое действуют две параллельные силы  и , приложенные в точках  и  тела (рис.37а). Требуется определить модуль и точку приложения равнодействующей этих двух сил.

Пользуясь аксиомами 1 и 2 статики, перейдем от данной системы параллельных сил к эквивалентной системе сходящихся сил  и . Для этого приложим в точках  и  прямопротивоположные силы  и , направленные вдоль прямой  и сложим силы ,  и ,  по аксиоме 3 (рис. 37б).

 

33

Полученные  в  результате  такого  сложения  силы   и ,  переносим вдоль линий их действия в точку  и раскладываем обратно на составляющие ,  и , . Прямопротивоположные силы  и  можно отбросить, при этом состояние тела не изменится (рис. 37в).

В результате в точке  получаем две силы  и  направленные вдоль одной прямой. Перенесем эти силы вдоль линии их действия в точку  и находим их равнодействующую , модуль которой равен  (рис. 37г). Для определения точки приложения силы  (точки ) рассмотрим подобные треугольники  (рис. 37в). ,  

или учитывая, что , . , , получаем .                                                                                                 (10)

Таким образом, равнодействующая двух действующих на абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения слагаемых сил на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных силам. 

 

б) Антипараллельные силы.

Докажем теорему: равнодействующая двух антипараллельных сил параллельна этим силам и направлена в сторону большей из них. Модуль равнодействующей равен разности модулей данных сил, а линия действия равнодействующей делит расстояния между точками приложения данных сил внешним образом на части, обратнопропорциональные этим силам.

Рассмотрим твердое тело, на которое действуют две антипараллельные силы  и , приложенные в точках  и  тела и при этом  (рис.38а). Требуется определить модуль и точку приложения равнодействующей этих двух сил. Заменим силу  двумя эквивалентными силами , приложенной в точке , причем  и силой , приложенной в точке . ,  и учитывая, что , ,  отсюда

34

. Это равенство определяет положение точки .

Преобразуем равенство , , , . Из последней полученной зависимости видно, что в этом случае линия действия равнодействующей  проходит через точку, лежащую вне отрезка , и притом ближе к большей силе (рис. 38б).

Центр параллельных сил. Центр тяжести.

Сложим две параллельные силы  и . Точки приложения этих сил будем определять радиусами векторами, относительно неподвижного центра  (рис. 39).

 

    Рассматривая векторные треугольники, составляем соотношения между векторами: , . Кроме того, по зависимости (10): , , , .

Если по аналогичной процедуре, рассмотреть сложение трех и более параллельных сил, то, обобщая эти результаты, получаем зависимость, определяющую точку приложения равнодействующей:

                                                                                                           (11)

    Если спроектировать векторное равенство (11) на оси декартовой системы координат, то получим выражения, определяющие координаты точки :                ,   ,                             (12)

35

Следует отметить, что если параллельные силы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, то равнодействующая повернется на тот же угол, но координаты точки  не изменятся.

Т.о. центром параллельных сил называется такая точка, через которую проходит равнодействующая системы при любом ее направлении.

В качестве примера, можно рассмотреть тело, находящееся в поле тяжести земли. Каждая частица этого тела испытывает силу притяжения со стороны земли. С учетом того, что расстояния между этими частицами по сравнению с радиусом земли малы, можно считать такую систему сил параллельной. Равнодействующая такой системы называется весом тела, а точка приложения центром тяжести, координаты которой определяются по зависимостям (12).

 

Тема 9. Кинематика. Кинематика точки. Основные понятия.

    Кинематико й называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движение материальных тел без учета их инертности (массы), а также причин, вызывающих данное движение (сил).

    Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как здесь вводятся основные понятия и зависимости необходимые для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при изучении передач движения в механизмах.

    Под движением в механике понимается изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам. Для определения положения движущегося тела с тем телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую – нибудь систему осей координат, которую будем называть системой отсчета.

Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время постоянными, то тело по отношению к данной системе отсчета находится в покое (этот случай рассматривался в разделе статика). Если же координаты, каких – нибудь точек тела с течением времени изменяются, то тело по отношению к данной системе отсчета находится в движении.

    Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике рассматривается, как трехмерное, а время считается универсальным, т.е. протекающим одинаково во всех системах отсчета. Время является скалярной, непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики оно принимается за независимую переменную (аргумент), а все остальные величины (координаты, скорости и т.д.) рассматриваются как функции этого аргумента.    

    Кинематику делят на кинематику точки и кинематику системы материальных точек (тела). В кинематике решаются две основные задачи:

- первая задача состоит в установлении математических способов задания движения точек или тел;

36

- вторая задача заключается в том, чтобы, зная закон движения данного тела или точки, определить все кинематические величины, характеризующие как движение тела в целом, так и движение каждой из его точек в отдельности.

    Для решения задач кинематики необходимо, чтобы непосредственно был задан или закон движения данного тела или же закон движения, какого – нибудь другого тела, кинематически связанного с данным.

 

Способы задания движения точки.

    Чтобы задать движение точки, надо задать ее положение по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени. Для этого задания можно применять один из трех способов: естественный, координатный, векторный.

1. Естественный способ задания движения точки.

    Естественным способом задания движения пользуются в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траектория является прямой линией, то движение точки называется прямолинейным, а если кривой линией – то криволинейным.

Пусть точка  движется относительно системы отсчета, вдоль некоторой траектории  (рис. 40). Выберем на этой траектории какую – нибудь неподвижную точку , которую примем за начало отсчета,   а затем,   рассматривая траекторию как координатную ось, установим на ней положительное и отрицательное направление, как на обычной координатной оси.

 

Тогда положение точки  на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой , равной расстоянию от точки  до точки , измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком.

При движении точка  будет перемещаться вдоль траектории, следовательно, расстояние  будет с течением времени изменяться. Чтобы определить положение точки на траектории в любой момент времени надо знать зависимость вида:

                                                                                                            (13)

Это уравнение выражает закон движения точки. Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо знать:

37

1. Траекторию движения точки;

2. Начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета;

3. Закон движения точки вдоль траектории .                                           

    Следует отметить, что величина  определяет положение точки, а не пройденный ей путь. Например, если точка, двигаясь из начала отсчета , доходит до положения , а затем, двигаясь в обратном направлении, приходит в положение , то в этот момент ее координата , а пройденный за это время движения путь будет равен .

 

2.Координатный способ задания движения точки.

В этом случае положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы осей (рис. 41). При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени, т.е. уравнения движения получают в виде:

                                  , ,                                             (14)

При координатном способе задания движения точки, траектория в непосредственном виде не дается, но может быть получена из уравнений движения. Исключая из уравнений движения время, получаем два соотношения между координатами , которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т.е. ее траекторию.

    Если движущаяся точка остается за все время движения в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за координатную , получаем два уравнения движения , .

    Уравнения движения точки в координатной форме представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где за независимый параметр принято время. Исключая его из уравнений движения, получаем уравнение траектории.    

    При движении точки в плоскости можно пользоваться не только декартовыми координатами. В этом случае можно ввести в рассмотрение полярные координаты (рис. 42).

 

 

38

Положение точки в этом случае будут определять полярный угол  и вектор , т.е. уравнения движения точки в полярных координатах имеют вид: .

3.Векторный способ задания движения точки.

В этом случае положение точки в пространстве определяется только радиусом – вектором, проведенным из начала декартовой системы координат (рис. 43). Уравнение движения в этом случае имеет вид:

                                                                                                                  (15)

Векторный способ задания движения удобен для установления общих зависимостей, так как позволяет описать движение точки одним векторным уравнением вместо трех скалярных.

 

Связь между различными способами задания движения.

    В этом параграфе показано, как можно сделать переход от одного способа задания движения точки к другому.

а) Переход от координатного способа задания движения к векторному. 

Эту связь легко получить, если ввести единичные векторы (орты) осей , ,  (рис. 43). Тогда учитывая, что проекции вектора  на оси  равны координатам точки , т.е. , получаем:

                                                                                              (16)

По зависимости (16), можно сделать переход от координатного способа задания движения к векторному, и наоборот 

б) Переход от координатного способа задания движения к естественному. 

    Допустим, что движение задано в виде уравнений (14). Известно, что  или , где , , . Отсюда получаем:                                                                              (17)