Определение ускорений точек плоской фигуры.

           При определении ускорений точек плоской фигуры, прослеживается аналогия с методами определения скоростей.

1. Метод полюса. Также как и при определении скоростей, принимаем за полюс произвольную точку тела, ускорение которой нам известно, или мы можем его определить. Тогда, ускорение любой точки плоской фигуры равно сумме ускорений полюса и ускорения во вращательном движении вокруг этого полюса.

                                                                                 (58)

           При этом составляющая  определяет ускорение точки  при ее вращении вокруг полюса . При вращении траектория движения точки будет криволинейной, а значит  (рис. 66).

 

 

           Тогда зависимость (58) принимает вид:                  (59)

Учитывая зависимости (51) и (52), получаем , .

 

2. Мгновенный центр ускорений.

           Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка твердого тела, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

59

           Покажем, что в каждый данный момент времени такая точка существует. Принимаем за полюс точку , ускорение которой  нам известно. Находим угол , лежащий в пределах , и удовлетворяющий условию . Если , то  и наоборот, т.е. угол  откладывается по направлению вращения . Отложим от точки  под углом  к вектору  отрезок  (рис. 67). Полученная такими построениями точка  будет МЦУ.

           Действительно, ускорение точки  равно сумме ускорений  полюса  и ускорения  во вращательном движении вокруг полюса : .

, . Тогда . С другой стороны, ускорение  образует с направлением отрезка  угол , который удовлетворяет условию: . Знак минус, т.к. вращение  относительно полюса  против хода часовой стрелки, а угол  откладывается по часовой стрелки. Тогда .

           Следовательно,  и тогда .

 

Частные случаи определения МЦУ.

1. . Тогда , и, следовательно, МЦУ не существует. В этом случае тело движется поступательно, т.е. скорости и ускорения всех точек тела равны.

2. . Тогда , . Значит, МЦУ лежит на пересечении линий действия ускорений точек тела (рис.68а).

3. . Тогда , . Значит, МЦУ лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек тела (рис.68б).

4. . Тогда , . Значит, МЦУ лежит на пересечении лучей, проведенных к ускорениям точек тела под углом  (рис.68в).

           Из рассмотренных частных случаев можно сделать вывод: если принять точку  за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры определится ускорением во вращательном движении вокруг МЦУ.

                                                                                                             (60)

 

60

 

 

Тема 13. Сложное движение точки. Основные понятия.

           Сложным движением материальной точки называется такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или боле движениях. При таком движении положение точки определяют относительно подвижной и относительно неподвижной систем отсчета.

           Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным движением точки. Параметры относительного движения условимся обозначать .

           Движение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением точки. Параметры переносного движения условимся обозначать .

           Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным (сложным)движением точки. Параметры абсолютного движения условимся обозначать .

           В качестве примера сложного движения, можно рассмотреть движение человека в движущемся транспорте (трамвай). В этом случае движение человека отнесено к подвижной системе координат – трамваю, и к неподвижной системе координат – земля (дорога). Тогда исходя из данных выше определений, движение человека относительно трамвая – относительно, движение вместе с трамваем относительно земли – переносное, а движение человека относительно земли – абсолютное.

 

Теорема о сложении скоростей точек в сложном движении.

              Будем определять положение точки  радиусами – векторами относительно подвижной  и неподвижной  систем координат (рис. 69). Введем обозначения:

 - радиус-вектор, определяющий положение точки  относительно подвижной системы координат , ;

61

 - радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы координат (точки ), относительно неподвижной системы координат (точки );

 - радиус – вектор, определяющий положение точки  относительно неподвижной системы координат ; , ;

 

 

           Получим условия (ограничения), соответствующие относительному, переносному и абсолютному движениям.

1. При рассмотрении относительного движения, будем считать, что точка  перемещается относительно подвижной системы координат , а сама подвижная система координат  относительно неподвижной системы координат  не перемещается. Тогда координаты точки  будут меняться в относительном движении, а орт вектора подвижной системы координат изменяться по направлению не будут.

.

2. При рассмотрении переносного движения, будем считать, что координаты точки  по отношению к подвижной системе координат зафиксированы, и точка перемещается вместе с подвижной системой координат  относительно неподвижной .

.

3. При абсолютном движении точка движется и относительно , и вместе с системой координат  относительно неподвижной .

.

           Тогда выражения для скоростей, с учетом (27), имеют вид:

, ,

.

62

           Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютной скорости:                                                                                           (61)

Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной составляющих скорости.

 

Теорема о сложении ускорений точек в сложном движении.

           Используя зависимость (31), получаем выражения для ускорений:

Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютного ускорения:

.

Получили, что абсолютное ускорение точки не равно геометрической сумме относительной и переносной составляющих скоростей. Определим составляющую абсолютного ускорения, стоящую в скобках, для частных случаев.

 

1. Переносное движение точки поступательное . В этом случае оси подвижной системы координат  перемещаются все время параллельно самим себе, тогда . , , , тогда . Окончательно получаем:

                                                                                                         (62)

 

           Если переносное движение точки поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения.

 

2. Переносное движение точки непоступательное. Значит, в этом случае подвижная система координат  вращается вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью  (рис. 70). Обозначим точку на конце вектора  через . Тогда используя векторный способ задания (15), получаем вектор скорости этой точки .

63

           С другой стороны, . Приравнивая правые части этих векторных равенств, получаем: . Поступая аналогично, для остальных орт векторов, получаем: , .

 

                                                                                                             (63)

           В общем случае абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения плюс удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения.

20. Ускорение Кориолиса.

           Удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения называется ускорением Кориолиса и обозначается:

                                                                                                    (64)

           Ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в переносном движении и изменение переносной скорости в относительном движении.

           Направляется  по правилу векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса всегда направлен перпендикулярно плоскости, которую образуют вектора  и , таким образом, чтобы, смотря с конца вектора  видеть поворот  к , через наименьший угол, против хода часовой стрелки.

           Модуль ускорения Кориолиса равен:

                                                                                                  (65)

 

 

64