Связь линейных и угловых параметров.

    Рассмотрим движение произвольной точки  вращающегося тела. При этом траектория движения точки буде окружность, радиуса , расположенная в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 59а).

    Допустим, что в момент времени  точка находится в положении . Предположим, что тело вращается в положительном направлении, т.е. в направлении возрастания угла . В момент времени  точка займет положение . Обозначим дугу . Следовательно, за промежуток времени  точка прошла путь . Ее средняя скорость , а при , . Но, из рисунка 59б, видно, что . Тогда . Окончательно получаем

                                                                                                              (50)

Здесь - линейная скорость точки . Как было получено ранее, эта скорость направлена по касательной к траектории в данной точке, т.е. по касательной к окружности.

 

53

 

 

   

Таким образом, модуль линейной (окружной) скорости точки вращающегося тела равен произведению абсолютного значения угловой скорости на расстояние от этой точки до оси вращения.

    Теперь свяжем линейные составляющие ускорения точки с угловыми параметрами.

,                                                 (51)

    Модуль касательного ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению углового ускорения тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

,                                                    (52)

    Модуль нормального ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Тогда выражение для полного ускорения точки принимает вид: 

                                                                           (53)

Направления векторов , , показаны на рисунке 59в.

 

Тема 12. Плоское движение твердого тела. Уравнения движения.

    Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором расстояние каждой точки тела от данной неподвижной плоскости остается постоянным, или иначе, такое движение, при котором все точки тела двигаются плоскости, параллельной данной плоскости. Примеры такого движения:

- движение любого тела, основание которого скользит по данной неподвижной плоскости;

54

- качение колеса по прямолинейному участку пути (рельсу).

    Получим уравнения плоского движения. Для этого рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости листа (рис. 60). Отнесем это движение к неподвижной системе координат , а с самой фигурой свяжем подвижную систему координат , которая перемещается вместе с ней.

 

 

              Очевидно, что положение движущейся фигуры на неподвижной плоскости определяется положением подвижных осей  относительно неподвижных осей . Такое положение определяется положением подвижного начала координат , т.е. координатами ,  и углом поворота , подвижной системы координат, относительно неподвижной, который будем отсчитывать от оси  в направлении обратном движению часовой стрелки.

           Следовательно, движение плоской фигуры в ее плоскости будет вполне определено, если для каждого момента времени будут известны значения , , , т.е. уравнения вида:

                                           , ,                                  (54)

              Уравнения (54) являются уравнениями плоского движения твердого тела, т.к. если эти функции известны, то для каждого момента времени можно их этих уравнений найти соответственно , , , т.е. определить положение движущейся фигуры в данный момент времени.

Рассмотрим частные случаи:

1. , тогда движение тела будет поступательным, т.к. подвижные оси перемещаются, оставаясь параллельными своему начальному положению.

2. , . При таком движении меняется только угол поворота , т.е. тело будет вращаться на месте, относительно оси проходящей, перпендикулярно плоскости рисунка, через точку .