Приведение пространственной системы сил к данному центру. Частные случаи приведения.

Пусть на тело действует произвольная система сил , , …, , расположенных в пространстве (рис. 34а). Возьмем произвольную точку , которую назовем центром  приведения, и по аналогии, как и для плоской системы, приведем все эти силы к центру  (рис. 34б).

В результате в центре  получаем:

Систему сходящихся сил, складывая которые получаем главный вектор системы

Пространственную систему присоединенных пар, вектора – моменты которых равны , , …, . Сложим геометрически вектора – моментов присоединенных пар.

В результате система пар заменится одной парой, вектор – момент которой будет равен  или . Величина , равная геометрической сумме векторов – моментов всех сил относительно центра , называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

 

Определим проекции этих двух векторов на координатные оси:

30

           

Направление главного вектора  определяют направляющие косинусы

Направление главного момента  определяют направляющие косинусы

Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести пространственную систему сил.

Если для данной системы сил , а , то она приводится к одной паре с моментом . Причем в этом случае величина  не зависит от центра приведения, т.к. иначе мы получили бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что невозможно.

Если для данной системы сил , здесь появляются следующие варианты приведения.

а) , . В этом случае система сразу заменяется равнодействующей, которая в данном случае будет равна главному вектору системы и проходить через точку .

 б) ,  и . В этом случае система также заменяется равнодействующей, которая будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку . Покажем, что это действительно так и определим положение точки . Пусть в результате приведения, система привилась к главному вектору  и главному моменту  относительно центра  (рис. 35а).

Пару сил изобразим силами  и , причем эти силы подбираем таким образом, чтобы у нас выполнялись равенства: ,  (рис. 35б).

31

Затем  отбрасываем  силы  и , как уравновешенные, получаем, что система заменяется равнодействующей , но проходящей через точку  (рис. 35в). Положение точки  определится соотношением .

Приведение к динамическому винту. Если в результате приведения система привилась и к главному вектору и главному моменту, причем угол между ними либо , либо , т.е. эти вектора коллинеарные, то такая система называется динамическим винтом.

Покажем, что если угол , то систему всегда можно привести к динамическому винту. Рассмотрим такой случай (рис. 36а). Разложим  на две взаимоперпендикулярные составляющие: , которая направлена, перпендикулярна плоскости , и , которая лежит в плоскости .

 

 

Складывая вектора  и , по процедуре описанной в пункте 2, получаем вектор , но проходящий не через точку , а точку  (рис. 36б). Вектор  можно свободно переносить в плоскости , используя свойства пар сил. Поэтому переносим  параллельно самому себе в точку . В результате получаем два коллинеарных вектора  и , которые и образуют динамический винт (рис. 36в).

32

4. Приведение к равновесию. Если для данной системы сил   и , то она находится в равновесии.

,

                                      

, , , , ,      (9)

 

Получили шесть условий равновесия : для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей, а также суммы моментов этих сил, относительно каждой из координатных осей были равны нулю.