Теорема о сложении вероятностей.

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

 .

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,

- вынули черный шар из первого ящика,

В – белый шар из второго ящика,

- черный шар из второго ящика,

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий . По теореме об умножении вероятностей

Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет

Формула полной вероятности

Пусть — полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

 

 

Формула Байеса

Пусть  — полная группа событий и A — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

- на линию огня вызван первый стрелок,

- на линию огня вызван второй стрелок,

- на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы  после опыта:

 

 

Практическое занятие №4

1 Наименование работы: Вычисление вероятностей по формуле Бернулли и формулам Лапласа.

2 Цель работы: применение теоретических знаний к решению задач.

Формирование ОК 2,3,5,6,8; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.2. (спец. 09.02.03.), ПК 1.4. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Формулы Бернулли и Лапласа».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №4.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. Пусть вероятность того, что ноутбук потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,22. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 7 ноутбуков: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

2. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 5% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 32 деталей четыре будут нестандартными.

3. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет один раз; в) решка выпадет 4 раза.

4. Два равносильных противника играют в шахматы. Выиграть две партии из четырех, или три партии из пяти?

5. В игре разыгрывают 4 автомобиля за 4 дня. Всего участвует 100 человек. Какова вероятность выигрыша сразу трех автомобилей одним человеком? Ответ выразите в процентах.

6. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

7. Магазин получил 1000 бутылок шампанского. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,01. а) Найти вероятность того, что магазин получит ровно 5 разбитых бутылок. б) Найти вероятность того, что все бутылки прибудут в магазин целыми.

8. Известно, что при контроле бракуется 5 % изготовленных компьютерных столов. Для контроля отобрано 545 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей не менее 500 и не более 520 столов отличного качества.

9. В среднем, в России, на 100 браков приходится 11 разводов. Найдите вероятность того, что среди 1000 брачующихся не менее 210 и не более 340 разведутся.

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.9) и сдайте зачет).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

 

9 Контрольные вопросы:

1. Что называется схемой Бернулли?

2. Приведите примеры повторных испытаний.

3. Запишите теорему Бернулли.

4. Сформулируйте теорему Муавра – Лапласа

5. Запишите интегральную теорему Муавра - Лапласа

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p = P (A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q = P ()=1− p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности

 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда:

Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться

 

Пример: Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию n=400, p=0.75, q=0.25, k=280, откуда

По таблицам найдем  .

Искомая вероятность равна: