Перечень практических занятий

СБОРНИК

ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

                                                                                               ^{наименование учебной дисциплины (ПМ, МДК)}

номера занятий с ___ 1 __ по ___ 10 __

по программе утвержденной зам. директора по УВР А.В. Логвиновым

^{Фамилия, И.О.}

   «       »              201г.

 

для специальности _09.02.03.  – «Программирование в компьютерных системах»

                   09.02.04.  – «Информационные системы»

         ^{шифр и наименование специальности}

рассчитаны на   20  часов (часа).

составил преподаватель _____ А.В. Андрющенко, Н.Ю. Щербакова _____

^{Фамилия, И.О.}

РАССМОТРЕНО

на заседании цикловой комиссии «Естественнонаучные и общепрофессиональные дисциплины»

                                              ^{наименование П(Ц)К}

Председатель _____________/_ Н.Ю. Щербакова ____/

                                             ^{подпись                      расшифровка подписи}

Протокол _____ от «_____»_________ 2019 г.

                             ^{номер                                       дата}

 

 

Самара

2019 г.

Перечень практических занятий

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

Практическая работа № 1.	Решение комбинаторных задач.
Практическая работа № 2.	Классическое определение вероятности.
Практическая работа № 3.	Вычисление вероятностей сложных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Практическая работа № 4.	Вычисление вероятностей по формуле Бернулли и формулам Лапласа.
Практическая работа № 5.	Закон распределения ДСВ. Вычисление характеристик ДСВ.
Практическая работа № 6.	Функция распределения и плотность распределения НСВ. Вычисление характеристик НСВ.
Практическая работа № 7.	Виды распределений ДСВ и НСВ.
Практическая работа № 8.	Построение для заданной выборки ее графической гистограммы, расчет ее числовых характеристик.
Практическая работа № 9.	Способы задания графов. Характеристики графов.
Практическая работа № 10.	Виды графов.

 

 

Практическое занятие №1

1 Наименование работы: Решение комбинаторных задач.

2 Цель работы: Отработать навык решения комбинаторных задач.

Формирование ОК 1, 2,4- 6, 8; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 2.4. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Комбинаторика».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №1.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1.Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

2. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

3. Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов?

4.Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «ВИНОГРАД» и «АБРАКАДАБРА».

5. Сколько автомобильных номеров можно составить из 6 символов: 3 букв русского алфавита и 3 цифр, если

А) они могут повторяться.

Б) они не могут повторяться.

6. Влюбленные хотят заказать машины для участия в свадебном кортеже. Для них, на выбор, фирма «Автолюкс» представила 7 лимузинов и 15 легковых автомобилей. Для того, чтобы все гости поместились в автомобилях, им необходимо выбрать или 3 лимузина, или 7 легковых автомобилей. Сколькими способами они могут это сделать?

7. Студент Василий ставит пароль на сайте «Вконтакте», причем, он хочет представить пароль всего из 5 символов. Какой вид пароля будет самым безопасным:

А) Только из цифр

Б) Только из букв

В) Цифры и буквы (в каком соотношении?)

Когда безопасность повышается, если символы повторяются или нет?

8. В олимпиаде по ТВ и МС среди команд 2 курса КС ПГУТИ может участвовать 4 студента из вашей группы. Сколько существует возможностей составить команду?

9. Сколькими способами можно выбрать из слова «АТРАКЦИОН» 3 согласных и одну гласную букву?

10. Сколько различных чисел, меньше 10 000 можно составить из цифр от 0 до 5?

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.10) и сдайте зачет.

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

9 Контрольные вопросы:

1. Какие события называются достоверными, невозможными и равносильными?

2. Запишите формулы для нахождения выборок из элементов без повторений.

3. Запишите формулы для нахождения выборок из элементов с повторениями.

4. Запишите правило сложения и умножения.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Комбинаторика.

Правило сложения

Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект В – m способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить n+m способами.

Пример:

Имеется 5 билетов лотереи, 6 билетов спортлото и 10 автолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет?

5+6+10=21 вариант

Правило произведения

Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект В – m способами, то объект «А и В» можно выбрать n·m способами.

Пример 1:

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый или коричневый переплеты. Сколькими способами он сможет это сделать?

n - 12 книг, m – 3 цвета

n·m=12·3=36 вариантов.

Пример 2:

Сколько существует двузначных чисел?

А – десятки (1,2,…,9)

В – единицы (0,1,2,…,9)

А·В=9·10=90

Пример:

Сколько слом можно получить переставляя буквы в слове «математика»?

Буква М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза, Е – 1 раз, И – 1 раз, К – 1 раз.

3. Число сочетаний с повторениями из n элементов по m

Пример:

В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному?

Практическое занятие №2

1 Наименование работы: Классическое определение вероятности.

2 Цель работы: отработать навык решения задач.

Формирование ОК 1,3,4,5; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 2.4. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1, 2.3. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Классическое определение вероятности».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №2.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. Маша, Таня, Галя, Марина и Кристина бросили жребий- кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Марина.

2. Фестиваль танцев среди студентов ВУЗов Самары проводится в 4 дня. Всего заявлено 32 выступления- по одному от каждого учебного заведения. В первый день 17 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что студенты из ПГУТИ будут выступать в 4 день конкурса?

3. а) Александр дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 7 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 2 очка.

б) Света и Юля играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Света выиграла.

в) Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 5 очков?

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпал не менее двух раз.

5. Андрей забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Определите вероятность того, что он дозвониться нужному абоненту не более, чем со второго раза.

6. В корзине 15 шаров: 6 белых и 9 черных. Вытянули 3 шара. Какова вероятность того, что среди них 2 черных и 1 белый шар?

7. Из колоды 52 карты вынимают одну. Какова вероятность того, что эта карта будет червовой масти?

8. Перед вами карточки с буквами «О», «К», «Ю», «Б», «Ь», «Р», «А», «Л». Они лежат рубашкой вверх. Найдите вероятность того, что наугад вытащив 7 карточек вы с первого раза сложите слово «КОРАБЛЬ».

9. Вы придумали пароль для своего аккаунта социальной сети, случайным образом расставив буквы своей фамилии. Найдите вероятность того, что злоумышленник взломает ваш пароль с первого раза.

 

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.9) и сдайте зачет).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

 

9 Контрольные вопросы:

1. Какое событие называется «случайным»?

2. Какое событие называется «достоверным», «невозможным»?

3. Что называется «классической схемой вероятности»?

4. Что называется «вероятностью события А»?

5. Запишите свойства вероятности события.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Пространство элементарных исходов  содержит конечное число элементарных исходов и при этом все исходы равновозможные, т.е. в силу условий проведения опыта можно сказать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий указанным условиям, называется классической схемой вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех возможных элементарных исходов:

Свойства вероятности событий:

1. , т.к.

2. Вероятность достоверного события  равна 1: P() = 1

3. Если события А и В несовместные, т.е. А·В= , то

P(A+B) = P(A) + P(B)

Пример:

В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Решение:

Вводим основное событие X = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).

 

Практическое занятие №3

1 Наименование работы: Вычисление вероятностей сложных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2 Цель работы: применение теоретических знаний к решению задач.

Формирование ОК 1,2,4,5; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 2.4, 3.4. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1, 2.3. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Формула полной вероятности. Формула Байеса».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №3.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. В магазин поступили автозапчасти одного типа, изготовленные на пяти различных заводах: с 1-го завода 27 шт., со 2-го — 52 шт., с 3-го — 25 шт., с 4-го — 9 шт, с 5-го -12шт. Вероятность того, что деталь прослужит более 1 года, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,7, для 3-го — 0,55, для 4-го — 0,14, для 5-го — 0,43. При раскладке по полкам магазина запчасти были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная запчасть прослужит более одного года?

2. ИП Верхушин имеет три источника поставки хлебобулочных изделий – пекарни А,В,С. На долю пекарни А приходится 50 % общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А хлебобулочных изделий не идут в товарооборот по своей непригодности, фирмой В – 5% и С – 6%.

 а)Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие нельзя будет пустить в продажу. 

б) Найдите вероятность того, что наудачу выбранная выпечка окажется пригодной и будет именно с третьей пекарни.

3. Из 8 лучников 5 попадают в цель с вероятностью 0,85 и 3 - с вероятностью 0,67.

a) Что вероятнее: попадет наудачу выбранный лучник или нет?

б) Наудачу выбранный лучник промахнулся. Что вероятнее: принадлежит он к первым пяти или к трем последним?

4. На книжной полке стоят книги четырех разных писателей: Достоевского Ф.М., Булгакова М.А., Куприна А.И. и Чехова А.П. в соотношении 1:3:4:7 соответственно. Вероятность того, что Маша выберет книгу Достоевского Ф.М.- 0,07, Булгакова М.А.- 0,4, Куприна А.И.- 0,3 и Чехова А.П.- 0,12.

а) Какова вероятность, что Маша решит взять книгу с этой полки?

б) Какого автора вероятнее всего выбранная книга?

5. В каждой из 4 корзин по 3 красных и 5 желтых мячика. Из первой корзины ученик Вася достал один мяч и переложен во вторую, после чего из второй достал один мяч и переложен в третью корзину, под конец он достал мяч из третьей корзины и забросил его в четвертую. После чего он позвал одноклассницу Валю играть в мяч и попросил достать любой из последней корзины. Найдите вероятность того, что мячик, извлеченный затем из четвертой урны ученицей Валей, окажется желтым.

6. Сколько нужно бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,35, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится два очка?

 

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.5) и сдайте зачет.

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

9 Контрольные вопросы:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение «условной вероятности».

2. Запишите теорему о сложении вероятностей совместных событий.

3. Запишите теорему об умножении вероятностей независимых событий.

4. Формула полной вероятности.

5. Формула Байеса.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Условной вероятностью  называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.

Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
 

Формула Байеса

Пусть  — полная группа событий и A — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

- на линию огня вызван первый стрелок,

- на линию огня вызван второй стрелок,

- на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы  после опыта:

 

 

Практическое занятие №4

1 Наименование работы: Вычисление вероятностей по формуле Бернулли и формулам Лапласа.

2 Цель работы: применение теоретических знаний к решению задач.

Формирование ОК 2,3,5,6,8; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.2. (спец. 09.02.03.), ПК 1.4. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Формулы Бернулли и Лапласа».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №4.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. Пусть вероятность того, что ноутбук потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,22. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 7 ноутбуков: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

2. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 5% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 32 деталей четыре будут нестандартными.

3. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет один раз; в) решка выпадет 4 раза.

4. Два равносильных противника играют в шахматы. Выиграть две партии из четырех, или три партии из пяти?

5. В игре разыгрывают 4 автомобиля за 4 дня. Всего участвует 100 человек. Какова вероятность выигрыша сразу трех автомобилей одним человеком? Ответ выразите в процентах.

6. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

7. Магазин получил 1000 бутылок шампанского. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,01. а) Найти вероятность того, что магазин получит ровно 5 разбитых бутылок. б) Найти вероятность того, что все бутылки прибудут в магазин целыми.

8. Известно, что при контроле бракуется 5 % изготовленных компьютерных столов. Для контроля отобрано 545 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей не менее 500 и не более 520 столов отличного качества.

9. В среднем, в России, на 100 браков приходится 11 разводов. Найдите вероятность того, что среди 1000 брачующихся не менее 210 и не более 340 разведутся.

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.9) и сдайте зачет).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

 

9 Контрольные вопросы:

1. Что называется схемой Бернулли?

2. Приведите примеры повторных испытаний.

3. Запишите теорему Бернулли.

4. Сформулируйте теорему Муавра – Лапласа

5. Запишите интегральную теорему Муавра - Лапласа

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p = P (A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q = P ()=1− p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности

 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда:

Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться

 

Пример: Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию n=400, p=0.75, q=0.25, k=280, откуда

По таблицам найдем  .

Искомая вероятность равна:

Практическое занятие №5

1 Наименование работы: Закон распределения ДСВ. Вычисление характеристик ДСВ.

2 Цель работы: применение теоретических знаний к решению задач.

Формирование ОК 1,2,4,5; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 1.2. (спец. 09.02.03.), ПК 1.2, 2.3. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Характеристики ДСВ».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №5.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, а также, построить многоугольник распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	-6	-3	2	4
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

 

Х	4,3	5,1	10,6
Р	0,2	0,3	0,5

 

2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Х	3	4	5	6	7
Р	Р1	0,15	Р3	0,25	0,35

Найти вероятность р1 и р3, если известно, что р3 в четыре раза больше р1. Построить многоугольник распределения.

3. Составить закон распределения вероятностей случайной величины числа очков, выпавшего на верхней грани игрального кубика при двух подбрасываниях, если известно, что в сумме выпало 6 очков.

4. В билете 2 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи- 0,9, а второй- 0,65. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее математическое отклонение этой случайной величины.

5.  На карточках написаны буквы, всего 3 согласных и 4 гласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х- число гласных букв среди взятых карточек. Составить закон распределения и найти М(Х), D(X) и σ(X).

6. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей. Построить функцию распределения F_x(x) для случайной величины x

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.6) и сдайте зачет).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

9 Контрольные вопросы:

1. Что называется случайной величиной? Виды случайных величин.

2. Что называется законом распределения ДСВ?

3. Как проверить правильность составления закона ДСВ?

4. Перечислите характеристики ДСВ.

5. Что называется математическим ожиданием ДСВ? Перечислите его свойства.

6. Что называется дисперсией ДСВ? Перечислите ее свойства.

7. Что называется средним квадратическим отклонением ДСВ?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

  Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

 Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x	x1	x2	х3	…	хn
p	р1	р2	р3	...	рn

 

где р₁+ р₂+…+ р_n=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р₁+ р₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Пример 1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x₁=0, x₂=1, х₃=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:

А- «студент сдаст экзамен по математическому анализу»

 - «студент не сдаст экзамен по математическому анализу»

В - «студент сдаст экзамен по органической химии»

 - «студент не сдаст экзамен по органической химии»

 

По условию:

 

 

 

 Тогда:

 

    

 Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

x	0	1	2
p	0,6	0,38	0,56

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

  Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:                                                                       

М(Х) = ∑ x_iр_i= x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

                                                        ⁱ⁼¹   

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Дисперсией D (X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))²

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C²•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

  Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

                                            D(X)=M(X²)-(M(X))²,

                      _n

  где М(Х)=∑ x_i²р_i= x₁²р₁ + x₂²р₂+…+ x_n²р_n

                    ⁱ⁼¹

  Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Средним квадратическим отклонением    случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

 

 

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-1	0	1	2	3
р	0,1	Р2	0,3	0,2	0,3

 

Найти Р₂, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р₂=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x₁=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x₁=-1 и x₂=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x₁=-1, x₂=0 и x₃=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x₁=-1, x₂=0,x₃=1 и х₄=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x₁=-1, x₂=0,x₃=1,х₄=2 и х₅=3.

Итак,

           0 при х≤-1,

           0,1 при -1<х≤0,

           0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

           0,7 при 2<х≤3,

              1 при х>3

 

Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

                    рис. 3

Найдем числовые характеристики случайной величины:

            _n

М(Х) = ∑ x_κр_κ =x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

     κ=1

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

             _n

D(X)= ∑ x²_κр_κ –(M(X))² = x²₁р₁ + x²₂р₂+…+ x²_nр_n –(M(X))²

    κ=1

D(X)=(-1)² •0,1+1²•3+2²•0,2+3²•0,3-(1,5)²=1,65

Практическое занятие №6

1 Наименование работы: Функция распределения и плотность распределения НСВ. Вычисление характеристик НСВ.

2 Цель работы: отработать навык решения задач.

Формирование ОК 1, 3-5,8; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, 1.2. (спец. 09.02.03.), ПК 1.2, 1.4. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Характеристики НСВ».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №6.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. F(x)=

Найти:

1)c

2)M(x),D(x),

2.  f(x)=

Найти:

1)M(x),D(x),

3.   f(x)=

Найти:

1)с

2)F(x)

 

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.3) и сдайте зачет).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

 

9 Контрольные вопросы:

1. Какую величину называют непрерывной?

2. Плотность распределения вероятностей и ее гафик.

3. Числовые характеристики НСВ.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

  Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения   х R

 вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x),где х R

Плотностью распределения вероятностей f (x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f(x)=F’(x)

       Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.

 Пример 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

     0     при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

     0     при