Геометрическое распределение

Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величинв может принимать значения 1, 2,..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам M(X) = 1/p, D(X) = q/p²

Пример 2:

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. С.в. X - число возможных выстрелов до первого попадания. а) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики. б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трёх выстрелов.

Решение:
а) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4,..., ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24
P(3) = q²p = 0,4² · 0,6 = 0,096
...
P(k) = q^k-1p = 0,4^k-1 · 0,6
...
Ряд распределения:

xi	1	2	3	…	k	…
pi	0,6	0,24	0,096	…	0,4^k-1 · 0,6	…

Контроль: Σp_i = 0,6/(1-0,4) = 1 (сумма геометрической прогрессии)
Функция распределения - это вероятность того, что с.в. Х примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение х. Значения функции распределения определяем суммированием вероятностей.
Если x ≤ 1, то F(x) = 0
Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Если 3 < x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936
...
Если k-1 < x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4^k-1)/(1-0,4) = 1-0,4^k-1 (частичная сумма геометрической прогрессии)
...

M(X) = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
D(x) = q/p² = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ(Х) = √D(X) ≈ 1,054

б) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24
P(3) = q²p + q³ = 0,4² · 0,6 + 0,4³ = 0,16

Ряд распределения:

xi	1	2	3
pi	0,6	0,24	0,16

Контроль: Σp_i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1

Функция распределения.
Если x ≤ 1, то F(x) = 0
Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Если x > 3, то F(x) = 0,84 + 0,16 = 1

M(X) = 1 · 0,6 + 2 · 0,24 + 3 · 0,16 = 1,56
D(X) = 1² · 0,6 + 2² · 0,24 + 3² · 0,16 - 1,56² = 0,5664
σ(Х) ≈ 0,752

Равномерный закон распределения

 

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.

 

               0      при х≤а,

f(х)=           при a<х<b,

                            

                0     при х≥b.   

 

     

 

 

   График функции f(x) изображен на рис. 1

 

 (рис. 1)                                                        (рис.2)

 

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:

 

               0  при х≤а,

F(х)=   при a<х≤b,

              0  при х>b.    

 

Ее график изображен на рис. 2.

 

Числовые характеристики случайной величины равномерно распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:

 

 

Пример 1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:

а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;

б) функцию распределения F(x) и построить ее график;

в) M(X),D(X), σ(Х).

 

Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:

                   0 при х<3,

 а) f(х)=  при 3≤х≤7,

                   0 при х>7  

 

Построим ее график (рис.3):

 рис.3

 

б)                  0 при х≤3,

F(х)=  при 3<х≤7,

                1 при х>7.   

 

Построим ее график (рис.4):

 

рис.4

 

в)