Сила инерции при криволинейном движении материальной точки.

Пусть материальная точка А с массой m движется по произвольной траектории с ускорением.

 

                  ,

                                      a_n    F^t_ин

 

                R                                    F^t_ин

                                        a_t

 

 

a = a_t + a_n;

                      a_t =  = ^´; a_t = F^t_ин = m   

                            a_n =  ; F^t_ин =

 

При равномерном движении по дуге всегда возникает нормальное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только

нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги.

  R                    Fⁿ_ин

 

                       a_n                                  

 

                      

 

                  Fⁿ_ин = ma_n = m  = m ²R

 

    Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения технических задач.

Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом.

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил. Приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и

условно приложенной силы инерции находится в состоянии равновесия.

 

 +  +F_ин = 0; F_ин = - ma

Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера.

1. Составить расчетную схему.

2. Выбрать систему координат.

3. Выяснить направление и величину ускорения.

4. Условно приложить силу инерции.

5. Составить систему уравнений равновесия.

6. Определить неизвестные величины.

Примеры решения задач

Пример 1. Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением.               y

                                                   N                                    а

              F_ин                                            F_дв   v

                                                                                     x

 

          F_тр                                      

                                                   G

 

Решение

 

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре N (сила нормального давления). Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера система, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнение равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

 

 = 0; F_дв – F_ин  - F_тр = 0

 

 = 0; N – G = 0

                                             F_ин = ma;

                                   F_тр = f N;

                                   F_дв – движущая сила;

                                   F_тр – сила трения;

                                   G – сила тяжести;

                                 N – реакция опоры (сила нормального давления)

                                    f – коэффициент трения.

 

Пример 2. График изменения скорости лифта при подъеме известен.масса лифта с грузом 2800 кг.

                  v,м/ c

                        5

 

                                1        2         3

 

                         0   4                 12    18 t,с

 

 Определить натяжение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема.

Решение

 

1. Рассмотри участок 1 – подъем с ускорением.

Составим схему сил.

               y                                     

 

а v      R                     R – натяжение каната;

                                                    G – сила тяжести;

                                          

 

               G

 

               F_ин

Уравнение равновесия кабины лифта:

 

 = 0; R₁ – G – F_ин = 0;

R₁ = G + F_ин = mg +ma₁

Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость v = v ₀ +at; v ₀ = 0.

Следовательно, ускорение:

 

a₁ =  =  ; a₁ = 1,25 м/с².

Определяем усилие натяжения каната при подъеме с ускорением

R₁ = 2800 ;   R₁ = 30,968 кН.

 

2. Рассмотрим участок 2 – равномерный подъем.

Ускорение и сила инерции равны нулю. Натяжение каната равно силе тяжения.

R₂ – G = 0; R₂ =  G =mg;

R₂ = 2800 9,81= 28 кН

 

3. Рассмотрим участок 3 – подъем с замедлением.

Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема.

Составим схему сил. 

                             y

 

                      a v F_ин

                                     R             

 

                                     G

Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема.

Составим схему сил.

      Уравнение равновесия: R₃ – G + F_ин = 0;

                                     R₃ = G - F_ин = mg – ma₃;

Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом того,  

v = 0.

           v ₀ + a₃t₃ = 0; a₃=  = -  м/с²; a₃ = 0,83 м/с².

Натяжение каната при замедлении до остановки:

               R₃ = 2800 (9,81 – 0,83) = 25144 Н; R₃ = 25,14 кН

Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выходит из строя в результате усталости материала.

Работоспособность зависит от времени.

Пример 3. Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости 160 м/с² радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».

1. Схема сил, действующих на летчика:

                                 F_ин               

 

                 R                                 

                                   G

                                             

                                   R                где G – сила тяжести

                                             R – реакция в опоре;

                                        F_ин – сила инерции.

 Сила давления летчика на кресло равна силе давления опоры на летчика.

2. Уравнение равновесия (движение равномерное по дуге, действует только нормальное ускорение): F_ин – G – R = 0;

      R = F_ин – G; R = m  - mg = m(  –g);

R = 75 ()