Тема 2. 6. Кручение(4. 6. – авто)

(эзс – 2 час, арх – 1 час, авто – 2)

 

Кручение прямого бруса круглого сечения.

1. Кручение – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

2. Прочие внутренние силовые факторы (нормальная и поперечная силы, изгибающие моменты) равны нулю.

3. Пример: круглый брус, жёстко заделанный в стену. На свободном торце приложен скручивающий момент М.

 

Деформации

От скручивающего момента брус деформируется:

1. Смежные сечения поворачиваются относительно друг друга

2. Образующая ОВ искривляется и занимает положение АС

 

Допущения при рассмотрении кручения

1. Ось бруса не деформируется

2. Плоские до деформации поперечные сечения остаются плоскими и после деформации

3. Продольные волокна не изменяют своей длины (угол γ настолько мал, что изменением длины можно пренебречь)

 

Правило знаков для крутящих моментов

1. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит внутренний крутящий момент М_кр против часовой стрелки, то момент считается положительным.

2. По часовой стрелке - отрицательным.

 

Напряжения в поперечном сечении бруса при кручении.

А) При кручении в поперечном сечении бруса возникают касательные напряжения (чистый сдвиг)

Б) касательные напряжения τ при кручении распределяются в сечении по линейной зависимости: в центре равны нулю, на максимальном радиусе – максимальное значение τ_max (по которому ведётся расчёт)

В) Значение τ_max зависит от внутреннего крутящего момента и геометрической характеристики поперечного сечения

 

τ_max = М_кр\W_р

 

W_р – полярный момент сопротивления

W_р  = 0,2 D³ – для сплошного сечения

W_р  = 0,2 D³ (1 – d⁴\D⁴)

d – внутренний диаметр (диаметр отверстия)

D – внешний диаметр бруса (авто – вала)

Понятие угла закручивания

А) существуют понятия угла закручивания φ и относительного угла закручивания θ

Б) зависимость между φ и θ

 

θ = φ\l

 

φ = М_крl\GW_pr

 

W_pr = J_p – полярный момент инерции сечения

J_p = 0,1D⁴ – для сплошного круглого бруса

J_p = 0,1D⁴ (1 – d⁴\D⁴) – для полого круглого бруса

 

G J_p – жёсткость поперечного бруса при кручении

 

Построение эпюр крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания

 

1. При кручении, как и при растяжении, строят:

А) эпюры внутренних силовых факторов – крутящих моментов (при растяжении – нормальных сил);

Б) эпюры касательных напряжений τ (при растяжении – нормальных σ)

В) эпюры углов закручивания  φ (при растяжении – перемещений)

 

2. Рисунок стр.78

- разделим брус на 3 части – до силы М₂, от силы М₂ до силы М₁, после силы М₁

3. Условное обозначение:

А) кружок с точкой – сила, направленная на наблюдателя;

Б) кружок с крестиком - сила, направленная от наблюдателя.

 

Построение эпюры М_кр

1. Участок III не загружен – момент на эпюре равен нулю.

 

2. М₁ – сила направлена против часовой стрелки: знак +

На эпюре от силы М₂ до силы М₁ –на участке II значение 2М

Контроль: на эпюре скачок 2М

 

3. В точке воздействия М₂: +М₁ – М₂ = 2М-М = М

– на участке I значение М

Контроль: на эпюре скачок М

 

Построение эпюры τ _max

τ_max = М_кр\W_р

 

 

1. Участок I

М_{кр =} +М (с эпюры М_кр →     W_p = 0,2 • (2d)³ = 1,6 d³ τ _max= М / 1,6 d³     

 

2. Участок II

М_{кр =} +М    W_p = 0,2d³  →     W_p = 0,2 • (d)³ = 0,2 d³     τ _max= М / 0,2d³ • 5\5 = 5М\ d³   

 

 

3. Участок III

М_кр = +2М      W_p = 0,2d³      τ _max= 2М / 0,2 d³ • 5\5 = 10М\ d³  

 

 

4. Участок IV

М_кр = 0  W_p = 0,2d³      τ _max= 0\0,2d³ = 0   

 

W_p – полярный момент сопротивления (геометрический фактор, на который воздействует изгибающий момент)

 

Для сплошного сечения W_p = 0,2D³  

Так как все внутренние крутящие моменты имели положительный знак, то и касательные напряжения τ _max будут положительны.

 

 

Построение эпюры φ (углов закручивания)

 

1. Участок I

φ= М_крIl: GJ_pI = М • l \ G • 0,1(2d)⁴ = Мl \ G • 0,1 • 2 • 2 • 2 • 2 • d⁴ = М • l \ G • 1,6 • d⁴

2. Участок II

φ = М_крII l: GJ_pII

 

М • l	+	М • l
G •1,6•d^4		G • 0,1d^4

 

Под общий знаменатель принимаем G • d⁴

(1: 1,6 = 0,6  1: 0,1 = 10)

 

0,6 М • l + 10 М • l	=	10,6 М • l
G •d^4		G • d^4

 

3. Участок III                                       

φ = М_крIII • l: GJ_pIII

 

10,6 М • l	+	2М • l	=	10,6 М • l + 20М • l	=	30,6М • l
G • d^4		G • 0,1d^4		G •d^4		G •d^4

 

3. Участок IV       

 

  30,6М • l\ G • d⁴ + 0 • l\G • d⁴ =    30,6М • l\ G • d⁴ (постоянная величина на этом участке)

 

 

Условия прочности и жесткости при кручении

1. Условие прочности бруса при кручении

 τ _кр ^max    R_кр или

 

М_кр\W_p R_кр

 

где R_кр – расчётное сопротивление материала кручению.

 

1. Условие жёсткости бруса при кручении

 

θ  [θ]

 

θ – относительный угол закручивания

[θ] – допускаемый относительный угол закручивания, принимают по СНиП в заваисимости о материала бруса.

 

θ = М_кр\GJ_p

 

G – модуль поперечной деформации

 

Три типа задач при расчете на прочность и жесткость при кручении

1. Проектировочный расчёт – определение диаметра бруса при заданной нагрузки

2. Проверочный расчёт – определение в брусе максимального касательного напряжения от заданной нагрузки и сравнение его с допустимым

3. Расчёт допускаемой нагрузки – расчёт допускаемой нагрузки для бруса (вала) заданного сечения (размеры и материал).

 

 

Самостоятельная работа (эзс – нет, арх – 1 нет, авто – 2)

1. Выполнение расчётно­-графической работы на построение эпюр крутящих моментов, углов закручивания и расчёт на прочность и жёсткость при кручении - авто