Тема 2. 5. Поперечный изгиб прямого бруса(4. 5. – авто)

(эзс – 6 час, арх – 4 час, авто – 6)

 

Основные понятия и определения

 

1. Изгиб – вид нагружения, при котором в поперечных сечения бруса возникают изгибающие моменты, прямолинейная ось бруса искривляется;

 

2. Классификация видов изгиба

А) продольный (колонны) и поперечный: прямой и косой

Б) простой (прямой, чистый) или сложный

 

3. Наиболее распространённая конструкция, работающая на изгиб – балка (брус, работающий на изгиб)

 

4. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым;

 

5. Простейший случай изгиба балки - плоский поперечный изгиб;

6. Изгиб называется плоским, если поперечное сечение балки симметрично относительно вертикальной оси и действующие нагрузки расположены в плоскости сечения;

 

7. Если при этом все нагрузки вертикальные, то изгиб называется плоским поперечным;

Напряжённо-деформированное состояние балки при прямом поперечном изгибе

Внешние нагрузки.

1. В простейшем случае прямого изгиба балки внешние нагрузки действуют в одной (вертикальной) плоскости перпендикулярно оси балки.

 

2. На балку могут действовать силы:

А) сосредоточенные

Б) распределённые по длине (встречаются в строительстве чаще)

В) изгибающие моменты

 

 

 Анализ внутренних силовых факторов начинается с определения полной системы внешних сил.

3. Рассмотрим горизонтальную балку прямоугольного сечения на двух опорах и загруженную равномерно распределённой вертикальной нагрузкой q.

 

4. Поперечное сечение балки имеет высоту h

 

5. Если балка опирается на опоры свободно, то одна опора считается шарнирно-неподвижной, другая – шарнирно-подвижной. Такая балка называется простой.

 

 

Деформации

 

 

 

 

1. Если до загружения балка представляла собой прямолинейный стержень, то под нагрузкой стержень искривился и появился изгиб:

А) со стороны нагрузки стержень стал вогнутым (сжат);

Б) с противоположной стороны – выпуклым (растянут)

2. Деформации (неравномерное распределение)

А) при изгибе продольные волокна деформируются по-разному: одни удлиняются в нижней части балки, другие укорачиваются – в верхней части балки;

Б) эти удлинения и укорочения различны в зависимости от расположения волокон по отношению к середине сечения: чем ближе к краю, тем больше деформация.

В) нейтральная ось (слой) при искривлении свою длину не меняет. Нейтральная ось – разделяет участки сжатия и растяжения, меняет своё положение при увеличении нагрузки

 

3. Прогиб – перемещения точек балки вниз вследствие искривления оси. Наибольший прогиб – в середине балки

 

f_max = 5\384 ∙ ql⁴\EJ

 

 

 

Внутренние усилия

1. В любом сечении по длине балки возникают:

А) изгибающие моменты М_х и

Б) поперечные силы Q_x

 

2. Величина М_х и Q_x зависит от:

А) расчётной схемы балки;

Б) характера нагрузки

3. Эпюры М_х и Q_x для простой балки от равномерно распределённой нагрузки

 

                                          

 

4. Наибольшее значение М_х определяют по формуле

 

М_х^max = ql²\8

 

5. Наибольшее значение Q_х определяют по формуле

 

Q_х^max = ql\2

 

 

Напряжения

Нормальные напряжения

1. В соответствии с неравномерным распределением деформаций: напряжения по высоте сечения не одинаковы.

 

2. Наибольшее напряжение соответствует наибольшим деформациям (закон Гука)

 

3. Краевые части поперечного сечения, наиболее удалённые от середины по высоте сечения, находятся в напряжённом состоянии.

 

4. Следовательно, при определении напряжений при изгибе не обходимо учитывать не только количество материалов (S_{сечения}), но и его распределение по высоте сечения.

 

5. Наиболее выгодными при изгибе оказываются сечения, в которых основная масса материала расположена по краям элемента.

 

 

6. Распределение напряжений

А) в крайних верхних волокнах возникают наибольшие сжимающие напряжения σ_х^сж. Условно принимают отрицательными → σ_х^min (верхние волокна укорачиваются)

Б) в крайних нижних - наибольшие растягивающие напряжения σ_х^раст. Условно принимают положительными → σ_х^max (нижние волокна удлиняются)

В) на уровне нейтрального слоя (оси) σ_х = 0

 

7. Удлинения и укорочения зависят от расстояния до нейтрального слоя (оси)

 

8. Также от этого расстояния зависят и нормальные напряжения, т.е. они изменяются по линейному закону. График изменения нормальных напряжений σ_х (эпюра нормальных напряжений) - в

 

 

                                               

 

 

σ_х^max = σ_х^min = M_x: bh²\6 → σ_х^max = σ_х^min = M_x\W_x

 

 

Момент сопротивления W_X = bh²\6 – геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечения изгибу (табличная величина)

(по аналогии аb - геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечения растяжению\сжатию)

 

9. Из формулы – если размеры балки b и h одинаковы по длине балки, то нормальные напряжения

σ_х напрямую зависят от изгибающего момента M_x – чем больше изгибающий момент, тем больше нормальное напряжение.

 

10. В середине балки изгибающий момент достигает максимального значения и  → напряжения (max и min) будут наибольшими для всей балки.

     

Касательные напряжения

1. Определяются по формуле Журавского

 

τ_у = Q_xS_x\J_xb

 

Q_x – поперечная сила в рассматриваемом сечении

S_x – статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

J_x – момент инерции сечения

b – ширина сечения балки

Прим. Для описания явления изгиба используют такие характеристики, которые учитывают распределение материала по высоте сечения (эти характеристики называются геометрическими)

 

2. Из формулы – касательные напряжения зависят от поперечной силы Q_x

А) там, где она достигает максимального значения (здесь: на опорах) наибольшими будут и касательные напряжения.

Б) где Q_x = 0 (здесь: в середине балки) → τ_у =0

 

3. Касательные напряжения τ_у изменяются не по линейному закону (как σ_х), а по закону параболы

(τ зависит не только от Q_x, но и от S_x – зависит от положения точки по высоте сечения)

 

4. График изменения напряжений по высоте сечения называется эпюрой (г - эпюра Q)

 

 

                                           

 

 

5. Для наглядности изменение касательных и нормальных напряжений показано в аксонометрии

 

 

 

Примечания.

1. Нормальные напряжения направлены горизонтально (вдоль оси х) → индекс х

2. Касательные напряжения направлены вертикально (вдоль оси у) → индекс у

3. В обозначениях момента инерции J, момента сопротивления W, статического момента S - нижний индекс (J_х  W_х S_х или у) – указывает на ось, относительно которой характеристики вычисляются.

 

Основные расчётные предпосылки при изгибе

1. Перпендикулярное оси недеформированного бруса плоское сечение остаётся и после изгиба плоским и нормальным к изогнутой оси бруса (гипотеза плоских сечений)

2. Продольные волокна при его деформации не надавливают друг на друга

Расчёт балок на прочность

1. По нормальным напряжениям

 

σ_изг^min,min  R_изг

 

R_изг – расчётное сопротивление материала при работе на изгиб (табличная величина)

 

Т.к.

σ_изг = М_х\W_x → М_х\W_x R_изг

2. Задачи трёх типов при расчётах на прочность при изгибе (как при растяжении и сжатии)

А) определение несущей способности балки

Б) проверка несущей способности балки

В) подбор сечения балки (встречается чаще)

2. По касательным напряжениям

 

τ_max  R_сдв

 

R_сдв – расчётное сопротивление материала при работе на сдвиг (табличная величина. Для стали вместо R_сдв   → R_ср)

Q_xS_x\J_xb R_{сдв (срез)}

 

 

Расчёт балок на жёсткость

(по деформациям)

 

1. Балки могут быть прочными и устойчивыми, но иметь чрезмерные (больше нормативных) прогибы

 

f_max  f_пред

f_max – наибольший расчётный прогиб конструкции

f_пред – предельный прогиб по СНиП

 

2. Для междуэтажного перекрытия f_пред = 1\200 l, балок чердачного перекрытия f_пред = 1\150 l

где l – длина пролёта балки

 

 

Интеграл Мора и правило Верещагина

1. Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.

2. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр (метод перемножения эпюр).

Общий порядок расчёта балки

для задач типа III

 

1. Построение эпюр М_х и Q_х

2. Подбор сечения балки (размеров)

А) определение требуемого момента сопротивления балки

W_x^треб  М_max\ R_изг

 

Б) по значению W_x подбирают номер балки (и её размер)

 

3. Проверка прочности подобранной балки по нормальным напряжениям

 

М_max\W_x R_изг

 

W_x – момент сопротивления выбранного сечения

 

4. Построение эпюры нормальных напряжений

 

5. Проверка прочности подобранной балки по касательным напряжениям по формуле Журавского

 

 

τ_у = Q_xS_x\J_xb

 

Q_x – поперечная сила в рассматриваемом сечении

S_x – статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

J_x – момент инерции сечения

b – ширина сечения балки

 

6. Построение эпюры касательных напряжений

7. Проверка жёсткости балки

 

 

Понятие о рациональных формах простых балок

1. Рациональные конструкции – наиболее экономичные.

2. Наиболее обобщённый показатель экономичности – собственный вес балки – чем меньше вес, тем она рациональнее (экономичнее)

3. Вес балки напрямую связан с размерами – чем меньше размеры балки и её сечения, тем она экономичнее (при соблюдении прочности)

Самостоятельная работа обучающихся (эзс – 6 час, арх – 6 час, авто – 5)

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки по вариантам

2. Рассчитать балки на прочность по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям по вариантам

3. Составить краткий алгоритм решения задач на определение линейных и угловых перемещений при поперечном изгибе статически определимых балок

1. Расчётно­-графическая работа на построение эпюр попереч­ных сил, изгибающих моментов и расчёт на прочность при изгибе - авто