Ознакомьтесь с условием задачи и разберите ее решение.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см., а боковое ребро

– 5 см. Найдите угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания.

Решение:

1. SD- - наклонная к α, SO⟘α, значит ОD – проекция SD на плоскость α (ОD= пр_αSD).

2. ∠(SD,α)=∠SDО (по определению).

3. SO⟘α,  ОD α, следовательно,  SO⟘ОD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

4.

ΔSOD – прямоугольный (по п.3).4

 

Ответ:

 

Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные обоснования.

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 5 см, а сторона основания

– 6 см. найдите площадь ее боковой и полной поверхности

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению                   основания на                                             ,

т. е. S_бок =       * d, где d = MK = √,

CK =  

 

=   (см).

 

Итак, d = √             = √   = (см), Р = 6 * =

=          (см), S_бок =        *       =       (см²).

 

2) S

 

пол

 

=               + S

 

осн

 

, где S

 

осн

 

= √

 

=                

 

 

=        √ (см²).

Следовательно, S_пол =          +                   (см²).

Ответ: S_бок =                  , S_пол =         +                   (см²).

 

4. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

5.

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро, равное 10 дм., образует с плоскостью основания угол равный 60⁰. Найдите высоту пирамиды.

Решите задачи.

1.

Апофема  пирамиды равна 5см., а высота 4см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

 

 

Решение                                                                                                                         

 

 

Ответ:                                                                                                                             

 

2. Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник ABC, сторона которого равна a. Ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC, а плоскость DBC составляет с плоскостью ABC угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 

 

 

5. Выполните задания.

1. Составьте задачу на нахождение объема прямой пирамиды. Решите еѐ.

Задача:                                                                                                                                    

 

 

2. Составьте задачу на нахождение объема правильной пирамиды. Решите еѐ.

Задача:                                                                                                                                    

 

2.4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 4см. высота пирамиды равна 5 см. Найдите боковое ребро пирамиды и ее объем.

2. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 3см. и 4см. Высота пирамиды равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см., а боковая сторона - 10см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

4. Высота и апофема правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 4 и 17 см. Вычислите объем пирамиды.

5. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а еѐ высота равна 21 дм. Найдите объѐм пирамиды.

 

Правильные многогранники

3.1 Теоретические сведения

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): куб, правильный тетраэдр, правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (додекаэдр), правильный двадцатигранник (икосаэдр).

В приведенных ниже формулах использованы следующие обозначения: V — объем многогранника, S — площадь поверхности, R — радиус описанной сферы, r — радиус вписанной сферы, Н — высота многогранника, а — каждое из равных ребер многогранника.

а) Куб

Все шесть граней куба — равные квадраты (рис. 5).

 

Рис. 5

 

б) Правильный тетраэдр

Все четыре грани — равные правильные треугольники (рис. 6).

 

Рис. 6

в) Правильный октаэдр

Все восемь граней — равные правильные треугольники (рис. 7).

Рис.7

г) Правильный додекаэдр

Все двенадцать граней — равные правильные пятиугольники (рис.8). Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра равна 324°.

Рис. 8

д) Правильный икосаэдр

Все двадцать граней — равные правильные треугольники (рис. 9). Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна 300°.

 

Рис. 9

3.2 Упражнения

1. Заполните пропуски

 

1.Выпуклый                                                                 называется                   правильным, если его          грани        -                                                           многоугольники, и в

                               его                                                             сходится одно и то же число.

2.Существует                             правильных многогранников.

3. Тетраэдром называется                                                                                                         

                                                                                                                                                    .

4.Кубом называется                                                                                                                   

                                                                                                                                                    . 5.Октаэдром называется                                                                                                            

                                                                                                                                                    . Икосаэдром называется                                                                                                             

                                                                                                                                                    .

6. Додекаэдром называется                                                                                                     

                                                                                                                                              .

2.Докажите, что куб является правильным многогранником. Доказательство:

Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного                                            , указанными в определении.

1) Куб                                        выпуклым многогранником.

2) Каждая грань куба -                                       , т. е.                                                  

многоугольник, и все грани                                         между собой

3) В                                          вершине куба сходится                    число ребер, а именно       ребра.

Итак, у куба                                    все признаки, указанные в определении                                            многогранника. Следовательно, куб                                правильным                                    , что и требовалось доказать.

 

2.Запишите в таблицу значения параметров: n — чи

сло сторон грани правильного многогранника; k — число ребер, сходящихся в одной вершине; В — число вершин многогранника; Р — число ребер; Г — число граней. Напишите названия многогранников.

Вычислите   для   каждого   из   них   величину  В   +   Г   –   Р.

 

 

3. а) Дорисуйте на развертке правильного додекаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного додекаэдра.

Ответ. б) см².

 

 

 

4.а) Дорисуйте на развертке правильного икосаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного икосаэдра. Ответ. б) см².

-

 

 

 

5. а) Дорисуйте на развертке правильного додекаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного додекаэдра. Ответ. б) см².

 

 

 

Список литературы

1. Алешина Т. Н. Обучающие и проверочные задания. Геометрия. 10 класс (Тетрадь)/ Алешина Т. Н. – М: Интелект – Центр. – 2011. – 108 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., «Геометрия: учебник для 10-11 кл.» - М: Просвещение, 2009.-256 с.

3. Глазков Ю. А., Юдина И.И. Геометрия 10 класс. Рабочая тетрадь: учебное пособие для общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / М.: Просфещение, 2011. – 95 с.

4. Евдокимов Н. ИН. Краткий справочник по математике. 9 – 11 классы. – СПб.: Издательский Дом «литера», 2010. – 288 с.

5. Смирнова И.М. Геометрия 10 класс. Рабочая тетрадь: учебное пособие для общеобразоват. учреждений/ И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2009. – 103 с.