Свойства выпуклых многогранников

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство 2. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360⁰.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2,

где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Обозначения:

V — объем;

S _полн — площадь полной поверхности; S _бок — площадь боковой поверхности; S _о — площадь основания;

P _о — периметр основания;

P _о — периметр перпендикулярного сечения;

l — длина ребра;

h — высота.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁ А₂…А_n и В₁ В₂…В_n (рис. 2), расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов, называется призмой.

Элементы призмы: 1. Параллелограммы A1B1B2A2, A2B2B3A3, и т. д. называются боковыми гранями призмы. 2. Многоугольники A1A2A3…An, В1В2В3…Вn, называются основаниями. 3. Отрезки A1B1, …АnBn называются боковыми ребрами призмы. 4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется его высотой. 5. Отрезок, соединяющий две вершины не принадлежащие одной грани называется диагональю.

Рис. 2

Свойства призмы:

1. Основания призмы являются равными многоугольниками.

2. Боковые грани призмы являются параллелограммами.

3. Боковые ребра призмы равны.

4. Противоположные ребра параллельны и равны.

5. Все боковые ребра равны и параллельны.

6. Противоположные боковые грани равны и параллельны.

7. Высота перпендикулярна каждому основанию.

8. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

9. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

 

 

P - периметр

h – высота призмы

S = P · h

Бок   осн

10. Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

 

S  S + 2S .

пол = бок       осн

11. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

 

V= S_осн∙Н

Виды призмы

а) По виду оснований.

                                                                  

 

треугольная

четырехугольная

шестиугольная

 

 

б) По расположению боковых ребер к основанию.

 

Прямая призма Прямой называют такую призму, боковые ребра которой перпендикулярны к основаниям.	Наклонная призма Наклонной называют такую призму, боковые ребра которой не будут перпендикулярны к основаниям.
Свойства 1. Боковые грани-прямоугольники. 2.Высота равна с боковому ребру. 3. Sбок = Росн∙ Н, Росн- периметр основания призмы, Н- боковое ребро. 4. Sпол= Sбок+2Sосн 5. V= Sосн∙Н	Свойства 1. Боковые грани-параллелограммы. 2.Высоты не совпадают с боковыми ребрами. 3. Sбок = Рперпенд. сеч∙ L, Рперпенд. сеч - периметр перпендикулярного сечения призмы, L- боковое ребро. 4. Sпол= Sбок+2Sосн 5. V= Sосн∙Н

в) Правильные призмы это прямые призмы в основании которых лежит правильный многоугольник.

 

г) Параллелепипеды. Параллелепипед это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Наклонный параллелепипед.   основание	Прямой параллелепипед.     основание
Прямоугольный параллелепипед.     основание	Куб.     основание

 

1.2. Упражнения