Понятие многогранника. Призма

Предисловие

Данное пособие по геометрии направлено на формирование у студентов основных математических умений, пространственного мышления и развитие самостоятельного познания. Предлагаемые задания соответствуют стандарту математического образования и дают возможность преподавателю организовывать работу учащихся на уроках и дома.

Пособие включает обучающие и проверочные задания по учебной дисциплине естественно - научного цикла: «Математика» по теме «Многогранники», с использованием методов таксономии Б.Блума. Задания расположены по степени усложнения характера познавательной деятельности: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка.

Предложенные задания в учебном пособии различные по форме и содержанию. Первая группа заданий, проверяющих знание формулировок, конкретных фактов,

основных понятий. Эти задания предлагают вставить пропущенные слова в утверждения, чтобы оно было верным, закончить формулировку определения или ответить на вопросы.

Вторая группа заданий проверяет понимание смысла определений, теорем, свойств, признаков. В заданиях такого рода необходимо объяснить факты, правила, принципы, ответить на вопросы, уточняющие некоторые детали, тонкости в содержании геометрического факта. Также преобразовать словесный материал в графическую форму.

Третья группа направлена на практическое применение теории в конкретных ситуациях, а также формирует у учащихся умение подвести условие задания под некоторое геометрическое понятие или факт, использовать свойства и признаки в новых ситуациях. Многие из этих заданий способствуют дальнейшему развитию пространственного мышления учащихся.

В четвертой группе заданий предусмотрен анализ решения выборочных задач, заполнение пропусков в частично решенных задачах. Данные задания обучают учащихся вычленять части целого, выявлять взаимосвязь между ними, видеть ошибки и упущения в логике рассуждений, проводить различие между фактами и следствиями.

Пятая группа заданий обозначает умение комбинировать элементы, чтобы получить целое, обладающее новизной. В заданиях такого рода необходимо составить условие задач, предварительно составить план решения или графическое изображение фигур.

Последняя группа заданий обозначает умение оценивать значение того или иного материала. Это задания с выбором ответа и с данным ответом, что позволяет осуществить учащимися самоконтроль за качеством своего обучения.

Предложенные задания могут быть использованы преподавателями на занятиях в ходе закрепления, повторения, обобщения изученного материала по теме, а также учащимися в самостоятельной работе, для самопроверки и самоконтроля.

Содержание

§1. Понятие многогранника. Призма

1.1.Теоретические сведения…................................................................................................... 6

1.2. Упражнения…....................................................................................................................... 9

1.3.Практические решения задач.............................................................................................. 14

1.4. Задачи для самостоятельного решения…......................................................................... 19

§2. Пирамида. Усеченная пирамида

1.1.Теоретические сведения…................................................................................................... 19

1.2. Упражнения…....................................................................................................................... 21

1.3.Практические решения задач.............................................................................................. 27

1.4. Задачи для самостоятельного решения….......................................................................... 31

§3. Правильные многогранники

3.1.Теоретические сведения…................................................................................................... 31

3.2. Упражнения…....................................................................................................................... 37

Список литературы..................................................................................................................... 39

Бок   осн

10. Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

 

S  S + 2S .

пол = бок       осн

11. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

 

V= S_осн∙Н

Виды призмы

а) По виду оснований.

                                                                  

 

треугольная

четырехугольная

шестиугольная

 

 

б) По расположению боковых ребер к основанию.

 

Прямая призма Прямой называют такую призму, боковые ребра которой перпендикулярны к основаниям.	Наклонная призма Наклонной называют такую призму, боковые ребра которой не будут перпендикулярны к основаниям.
Свойства 1. Боковые грани-прямоугольники. 2.Высота равна с боковому ребру. 3. Sбок = Росн∙ Н, Росн- периметр основания призмы, Н- боковое ребро. 4. Sпол= Sбок+2Sосн 5. V= Sосн∙Н	Свойства 1. Боковые грани-параллелограммы. 2.Высоты не совпадают с боковыми ребрами. 3. Sбок = Рперпенд. сеч∙ L, Рперпенд. сеч - периметр перпендикулярного сечения призмы, L- боковое ребро. 4. Sпол= Sбок+2Sосн 5. V= Sосн∙Н

в) Правильные призмы это прямые призмы в основании которых лежит правильный многоугольник.

 

г) Параллелепипеды. Параллелепипед это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Наклонный параллелепипед.   основание	Прямой параллелепипед.     основание
Прямоугольный параллелепипед.     основание	Куб.     основание

 

1.2. Упражнения

Заполните таблицу

1                                          2

                        

 

Элементы многогранника	Количество
	1	2
Вершины
Грани
Ребра

 

Закончите предложения.

1. Призмой называется многогранник, составленный                                                    

 

2. Высотой призмы называется                                                                                            

3. Диагональю призмы называется                                                                                      

4. Призма называется наклонной, если                                                                              

 

5. Призма называется прямой, если                                                                                   

 

7. Боковой поверхностью призмы называется                                                                  

8. Параллелепипедом называется                                                                                        

 

9. Прямоугольным параллелепипедом называется                                                            

10. Кубом называется                                                                                                          

 

11. Примеры моделей призмы и параллелепипеда из вашей профессии                      

 

 

6. Выполните задания.

1.
Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются призмами.

1      2   3      4    5      6        7       8

Ответ:                                                                                                                                    

 

 

2.
Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются параллелепипедами.

4     5      6        7       8

Ответ:                                                                                                                                    

 

 

3.
Начертите прямую четырехугольную призму. Обозначьте:

 

7. Ответьте на вопросы.

1. Какие многоугольники лежат в основаниях призмы?                                                 

2. Какими отрезками являются боковые ребра призмы?                                                 

3. Какими фигурами являются боковые грани призмы?                                                  

4. Что представляет собой диагональное сечение призмы?                                            

5. Какими фигурами являются все грани параллелепипеда?                                           

6. Какими фигурами являются все грани прямоугольного параллелепипеда?             

7. Сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда?                                          

8. Что является высотой прямой призмы?                                                                          

9. Какие многоугольники являются основанием и боковой гранью пятиугольной

призмы?                                                                                                                                  

10. Призма имеет 30 граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?                

11. Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно к

ее боковой грани? Ответ обоснуйте                                                                               

 

12. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?                                            

13. Если все ребра призмы равны, то будет ли она правильной? Ответ обоснуйте  

 

14. Существует ли призма, у которой только одна баковая грань перпендикулярна основанию? Ответ обоснуйте                                                                                                                  

 

8. Выполните задания.

1. Начертите прямую призму, в основании которой лежит прямоугольник

2. Напишите название грани, которая является нижним основанием призмы

3. Напишите одну пару параллельных ребер

4. Сколько в данной призме пар взаимно перпендикулярных ребер?

5. Выделите на чертеже штриховкой одну пару параллельных граней

6. Запишите отрезок, который является высотой призмы

7. Запишите одну пару равных граней призмы

8. Начертите диагональ призмы

9. Вычислите площадь полной поверхности призмы, если стороны основания призмы равны 5 и 7 см., а боковое ребро – 9 см.

10. Вычислите объем призмы

 

Докажите, что площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле S = P*h,где Р – периметр основания, h–высота призмы

Практическое решение задач.

Решите задачи.

Ответ:

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 25 и 3. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

 

Решение		Дано:                                                       Найти:

 

 

2. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и поной поверхности призмы, если: n = 4, а = 12 дм, h = 8 дм

 

Решение                                                                                                                          

 

Ответ:                                                                                                                           

 

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6см., а диагональ боковой грани равна 10см. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

 

 

 

 

Решение                                                                                                                        

 

 

Ответ:                                                                                                                             

 

 

2. Составьте задачу на нахождение объема прямой призмы. Решите еѐ.

Задача:                                                                                                                                    

 

 

1.4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 4 и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Вычислите S_полн. и V призмы

2. Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 5 и 7 см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Вычислите диагональ призмы.

3.
Дан прямоугольный параллелепипед с измерениями 5, 7, и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

4. Диагональ куба равна √. Найдите его объем.

5. Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 6 и 5 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Вычислите диагональ призмы и ее объем

 

Упражнения

1. Выполните чертеж четырехугольной пирамиды, обозначьте ее и запишите:

вершины                                               боковые ребра                                                                                    боковые грани                                     

 

основание                                           

 

 

Закончите предложения.

1. Высотой пирамиды называется                                                                                      

2. Пирамида называется правильной, если                                                                        

3. Апофемой правильной пирамиды называется                                                             

4. Площадью полной поверхности пирамиды называется                                             

5. Площадью боковой поверхности пирамиды называется                                             

6. Усеченная пирамида – нижний многогранник, отсекаемый от пирамиды

плоскостью, параллельной                                                                                                  

7. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением

правильной пирамиды плоскостью                                                                                   

 

 

8. Выпуклый многогранник называется правильным, если                                           

9. Примеры моделей пирамиды и правильных многогранников из вашей профессии: _

 

3. Ответьте на вопросы:

1. Сколько сторон основания, боковых ребер, вершин имеет семиугольная пирамида?

2. Сколько оснований у усеченной пирамиды?                                                               

3. Какие многоугольники лежат в основаниях правильной усеченной шестиугольной

пирамиды?                                                                                                                            

 

4. Сколько боковых граней у шестиугольной пирамиды?                                           

5. Как называется точка пресечения всех боковых ребер пирамиды?                         

6. В  каком взаимном расположении находятся ребро основания и апофема

пирамиды?                                                                                                                      

7. Какая фигура может лежать в основании прямой четырехугольной пирамиды?  

8. Из каких фигур состоит пирамида?                                                                             

9. Сколько боковых ребер и сторон основания у десятиугольной пирамиды?           

10. Сколько боковых ребер и сторон основания у семиугольной усеченной пирамиды?

11. Сколько (и какие) виды правильных выпуклых многогранников Вы знаете?      

12. Какое наименьшее число ребер, граней, вершин имеет правильный многогранник?

Как он называется?                                                                                                              

13. Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильной пирамиды?

Ответ поясните                                                                                                            

 

14. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

Ответ поясните                                                                                                            

 

15. Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна

из боковых граней ее перпендикулярна к плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной?

 

4. Выполните задания.

1. Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются пирамидами.

1         2                3           4         5             6        7

 

Ответ:                                                                                                                                    

 

2.
SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Проведите высоту SO. Как определить угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания? Чему равен этот угол, если предположить, что высота SO вдвое меньше бокового ребра?

 

3. Сделайте рисунок пятиугольной усеченной пирамиды, обозначьте ее и запишите:

 

 

правильной четырехугольной усеченной

 

6. Поясните, что является осью симметрии:

а) квадрата                                                                                                                                б) окружности                                                                                                                                                                                                                                                         в) правильного треугольника                                                                                                                                                                                                 г) параллелограмма

д) ромба

 

Докажите.

Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра на основание.

Практическое решение задач.

Решите задачи.

1.
Апофема  пирамиды равна 5см., а высота 4см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

 

 

Решение                                                                                                                         

 

 

Ответ:                                                                                                                             

 

2. Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник ABC, сторона которого равна a. Ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC, а плоскость DBC составляет с плоскостью ABC угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 

 

 

5. Выполните задания.

1. Составьте задачу на нахождение объема прямой пирамиды. Решите еѐ.

Задача:                                                                                                                                    

 

 

2. Составьте задачу на нахождение объема правильной пирамиды. Решите еѐ.

Задача:                                                                                                                                    

 

2.4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 4см. высота пирамиды равна 5 см. Найдите боковое ребро пирамиды и ее объем.

2. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 3см. и 4см. Высота пирамиды равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см., а боковая сторона - 10см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

4. Высота и апофема правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 4 и 17 см. Вычислите объем пирамиды.

5. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а еѐ высота равна 21 дм. Найдите объѐм пирамиды.

 

Правильные многогранники

3.1 Теоретические сведения

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): куб, правильный тетраэдр, правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (додекаэдр), правильный двадцатигранник (икосаэдр).

В приведенных ниже формулах использованы следующие обозначения: V — объем многогранника, S — площадь поверхности, R — радиус описанной сферы, r — радиус вписанной сферы, Н — высота многогранника, а — каждое из равных ребер многогранника.

а) Куб

Все шесть граней куба — равные квадраты (рис. 5).

 

Рис. 5

 

б) Правильный тетраэдр

Все четыре грани — равные правильные треугольники (рис. 6).

 

Рис. 6

в) Правильный октаэдр

Все восемь граней — равные правильные треугольники (рис. 7).

Рис.7

г) Правильный додекаэдр

Все двенадцать граней — равные правильные пятиугольники (рис.8). Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра равна 324°.

Рис. 8

д) Правильный икосаэдр

Все двадцать граней — равные правильные треугольники (рис. 9). Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна 300°.

 

Рис. 9

3.2 Упражнения

1. Заполните пропуски

 

1.Выпуклый                                                                 называется                   правильным, еслиего          грани        -                                                           многоугольники, и в

                               его                                                             сходится одно и то же число.

2.Существует                             правильных многогранников.

3. Тетраэдром называется