Графо - аналитический метод исследования

Кинематики механизмов

Метод планов скоростей и ускорений относится к графо-аналитическим методам исследования кинематики механизмов.

Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором скорости (ускорения) различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей (ускорений) в данный момент времени.

Абсолютное движение любой точки звена может быть составлено из переносного и относительного. За переносное принимается известное движение какой-либо точки. Относительное - движение данной точки относительно той, движение которой принято за переносное:

.

Этот принцип в равной степени относится к перемещениям, скоростям и ускорениям:

Планы скоростей и ускорений обладают следующими свойствами:

- на плане абсолютные скорости (ускорения) изображаются векторами, выходящими из полюса плана: р(π). На конце вектора абсолютной скорости (ускорения) ставится строчная (маленькая) буква, соответствующая той точке механизма, скорость (ускорение) которой данный вектор изображает: ра (πа), рв (πв).

- отрезок, соединяющий концы векторов абсолютных скоростей, представляет собой вектор относительной скорости соответствующих точек. Вектор относительной скорости направлен на плане к той точке, которая в индексе скорости стоит на первом месте: ва (от а к в).

- фигуры, образованные точками одного и того же жесткого звена на плане и на механизме, подобны. Поэтому, если на звене известны скорости и ускорения двух точек, то скорость и ускорение любой третьей точки этого же звена можно найти по подобию;

- имея план скоростей, можно найти угловую скорость любого звена механизма. Для определения угловой скорости исследуемого звена надо взять относительную скорость двух любых точек данного звена и разделить на расстояние между этими точками на механизме ω_АВ= ;

- имея план ускорений, можно найти угловое ускорение любого звена механизма. Для определения углового ускорения исследуемого звена надо взять тангенциальную составляющую относительного ускорения двух любых точек данного звена и разделить на расстояние между этими точками на механизме: ε_АВ = ;

- звенья, соединенные в поступательную кинематическую пару, имеют одинаковые угловые скорости и одинаковые угловые ускорения.

При кинематическом исследовании плоских механизмов методом планов встречается 2 случая:

- две точки (одна исследуемая, вторая с известным законом движения, которое принимается в качестве переносного) принадлежат одному и тому же жесткому звену (рис. 20). В данном случае относительное движение этих точек получается за счет вращательного движения звена, на котором они находятся. Относительное ускорение при этом раскладывается на нормальное (центростремительное – стремящееся к центру вращения) и тангенциальное (по касательной в сторону вращения углового ускорения).

 

 

Рис. 20. Вращение точки В относительно точки А

 

- звенья соединяются поступательной парой. В этом случае рассматриваются две точки, совпадающие в данный момент времени по своему положению, но принадлежащие разным звеньям – одна ползуну, другая направляющей (рис. 21, а).

 

 

Рис.21. Случаи движения ползуна:

а) движение ползуна вдоль направляющей и его кинематическая схема, б) направление кориолисово ускорения

 

ω1=ω2

 

Если известен закон движения направляющей 1, то известны характеристики движения любой точки на этом звене, в этом случае движение точки С₁ принимается в качестве переносного. Движение точки С₂, принадлежащей ползуну, относительно точки С₁ получается за счет поступательного движения ползуна вдоль направляющей (влияние вращательного движения исключается, т.к. радиус вращения равен нулю – положение точек С₁ и С₂ совпадает) (рис.21, а).

При определении ускорений кроме относительного ускорения, направленного вдоль направляющей, возникает кориолисово ускорение (рис.21, б).

Исследование кинематики механизма методом планов начинается с начального механизма (с входного звена) и далее ведется по группам Ассура в порядке их присоединения к механизму. Для каждой группы Ассура разработаны методы решения (уравнения и порядок построения планов), которые являются неизменными, независимо от того, в каком механизме данная группа Ассура находится. Уравнения планов для групп Ассура второго класса приведены в табл. 7.

 

Таблица  7

Кинематический анализ групп Ассура II класса методом планов

Вид группы	Конфигурация группы	Уравнения для построения планов скоростей и для определения угловых скоростей	Уравнения для построения планов ускорений и для определения угловых ускорений
1
2

Продолжение табл. 7

3
4
5

 

5.1. Пример построения плана скоростей

Рассмотрим методику построения плана скоростей на примере механизма, представленного на рис. 22, в который входят две группы Ассура.

Известны: ω₁= 1 рад/с, АВ=0,12 м, ВC=0,5 м,

CD=0,5 м, DE=0,4 м, DS₃=0,1 м, В S₂=0,25 м.

Построение плана скоростей механизма начинают с определения скорости центра кинематической пары входного звена (т.В), к которой присоединена первая структурная группа Ассура.

Для определения скорости любой точки звена необходимо знать скорость какой-либо одной точки звена по величине и направлению и направление скорости второй точки.

1. Вычислим скорость точки В принадлежащей в 1 звену. Точка совершает вращательное движение. Скорость этой точки определим по формуле:

Звено АВ совершает равномерное вращательное движение

V_В =ω₁∙АВ=1∙0,12=0,12 м/с.,

где V_В - ⊥ R (вектор направлен в сторону вращения угловой скорости ω₁).

 

Рис. 22. К кинематическому расчёту:                                                                     а) кинематическая схема механизма; б) план скоростей механизма; в) план ускорений механизма; г) направление кориолиса ускорения

 

2. Выберем коэффициент масштабности скорости по формуле:

 

μ_V = , [  ] =  = 0,0024 ],

μ_V =

 

где рв – отрезок (от 40 до 70 мм) на плане скоростей (выбирается произвольно). Из точки полюса р отложим вектор рв = 50 мм перпендикулярно к положению звена 1, в сторону направления угловой скорости звена 1. Данный вектор определяет направление вектора скорости т. В.

3. Для определения скорости т. С разложим плоскопараллельное движение звена 2 на переносное (поступательное) вместе с точкой В и относительное (вращательное) вокруг т. В. С другой стороны, т. С находится в относительном движении вокруг неподвижной точки Д.

Поэтому, (V_В ⊥АВ, V_СВ⊥СВ)

В векторных уравнениях под векторами указываются одной чёрточкой известные значения и направления векторов. Например, у вектора скорости т. В известны значение и направление, а у вектора относительной скорости СВ известно только направление.

 (V_D = 0 - стойка, V_СD⊥СD)

Векторные уравнения составлены для гр. Ассура II 1 вида в соответствии с Приложением. Представленные уравнения решим графически.

Решение каждого уравнения начинаем из точки полюса.

I векторное уравнение:  Из точки полюса р проводим скорость т. В (V_В = рв). Через т. В проводим линию перпендикулярную СВ.

II векторное уравнение:  Через полюс р (d), т.к. скорость точки D равна нулю проводим линию перпендикулярную СD до их пересечения в точке «с» Вычислим абсолютную скорость точки С:

V_C = рс ∙ μ _V, м/с,

где рс - величина измеренная с плана скоростей в мм.

4. Перейдем к структурной группе II кл.4 вида. Для определения скорости т.Е₅ составим векторные уравнения 4 вида. Скорость т.Е₃ звена 3 определим используя теорему подобия  DE, СD – длины [м]. «рс» - из плана скоростей, длина вектора рс [мм].

Отрезок ре₃ отложим от полюса «р» на продолжении отрезка «рс» в противоположном направлении. Измерив расстояние «ре₃» и умножив на коэффициент масштабности скорости μ _V получим абсолютную скорость т.Е₃

V _Е3 = ре₃ ∙ μ _{V ,} м/с.

5. Скорость т.Е₅, которая является общей для звеньев 4 и 5 определим раскладывая движение на переносное (вращательное) вместе с т. Е3 и относительное (поступательное) по отношению к точке Е3. В абсолютном движении т. Е5 перемещается вдоль оси Х-Х. Поэтому

Через т.е₃ проводим линию, параллельную DЕ, через полюс р линию, параллельную Х-Х до пересечения в т. «е₅». Вектор «ре_5» изображает скорость Е_5. Измерив расстояние «ре₅» на плане скоростей в «мм» и умножив на коэффициент масштабности μ_V получим абсолютную скорость V_Е5

V_Е5 = ре₅ ∙ μ_V, м/с.

6. Для определения скоростей точек центров масс S звеньев 2 и 3 составим подобия по теореме

= ,

,

где bc, pc -  из плана скоростей в мм.

Отложим эти расстояния на плане скоростей  и вычислим абсолютные скорости:

V_{S 2} = р s ₂ ∙ μ _V, м/с,

V_{S 3} = р s ₃ ∙ μ _V, м/с/.

Векторы рs₂, рs₃ изображают абсолютные скорости V_S2, V_S3. Абсолютные скорость т. S₅ равна скорости т.Е₅

V_S5 =V_Е5.

7. Из плана скоростей находим относительную скорость V_Е5Е3

«е₅е₃»- из плана скоростей, мм

лее, вычислим угловые характеристики звеньев:

 

=0, звено 5 не имеет вращения.

«е₅е₃, ре₅, вс, рс» - из плана скоростей, мм.

 

5.2. Пример построения плана ускорений

Для определения ускорения любой точки звена необходимо знать ускорение какой-либо одной точки звена полностью (величину и направление) и направление ускорения второй.

1. Вычислим ускорение т. В принадлежащей звену 1. Звено 1 совершает равномерное вращательное движение, значит ускорение т. В определим по формуле

= ω₁²∙ АВ = 1∙0,12 = 0,12 м/с₂.

Вектор ускорения направлен к центру вращения (рис. 22, в).

2. Выберем коэффициент масштабности ускорения по формуле

μ_а = , [  ],

где πв – отрезок (от 40 до70 мм) на плане ускорений (выбирается произвольно).

Из точки полюса π отложим вектор πв = 75 мм

μ_а = = 0,0016  ,

Данный вектор определяет направление вектора ускорения т. В.

3. Для определения ускорения т. С составим векторные уравнения для группы Ассура II кл.1 вида по табл. 7

 (  | | АВ, | | СВ, ),

, ( | | СD, ).

Нормальные ускорения вычисляются по известным из кинематики формулам:

Для того чтобы, отметить эти ускорения на плане необходимо возвести их в масштаб:

 

Вектор  направлен вдоль линии СВ от т. С к т. В – центру относительного вращения звена, а вектор по линии СD к центру D. Через точки n₁ и n₂ плана ускорений проводим направления векторов касательных ускорений, пересечение которых определяет точку «с» – конец «вектора искомого ускорения т. С».

Абсолютное ускорение т. С определяется по формуле

  м/с₂,

 = 30,3 мм (определяем путём измерения).

4. Для расчёта ускорения т. Е₃ звена 3 используем теорему подобия:

 

,

 

Абсолютное ускорение т.Е₃ вычисляется по формуле

а_Е3= ∙ ,

Отрезок «πе₃» откладываем на продолжении отрезка «πс» в противоположном направлении.

5. Ускорение т. Е₅ которая является общей для звеньев 4 и 5, находим из уравнения

,

(  ⊥ DE, ⊥ DE, | | DE),

где - относительное ускорение (релятивистское),

- кориолиса ускорение.

Модуль кориолиса ускорения вычисляется по формуле

= 2  ω₃ ∙  = 2∙ 0,24∙ 0,037 = 0,018 м/с².

Направление кориолиса ускорения определяется поворотом относительной скорости  на 90⁰ по направлению переносной угловой скорости ω₃ (рис. 17, г). Представленное векторное уравнение решаем графически. Через т. «е₃» проводим линию, перпендикулярную DE, и откладываем на ней отрезок «е₃k», изображающий кориолиса ускорение

е₃k =  =  = 11,25 мм.

Через т. «k» проводим линию, параллельную DE, вдоль которой направлено относительное ускорение. Через полюс π проводим линию, параллельную оси Х-Х, вдоль которой направлено ускорение т. Е₅ . Точка пересечения этих линий есть т. «е₅»-конец вектора ускорение т. Е.

6. Ускорения т.S₂ и S₃ определяем по теореме подобия. Точка «s₂» на плане ускорений делит отрезок «bc» пополам. Положение т. «s₃» находим из выражения

 =

πs₃  = 30,3 ∙  = 6 мм.

Ускорение т.S₅ равно ускорению т.E₅.

Из плана ускорений получаем абсолютное ускорение т. Е₅

Определим угловые характеристики звеньев:

 = 0, т.к. звено 1совершает равномерное вращательное движение.

,

т.к. два звена соединены одной поступательной парой.

0, т.к. звено 5 не имеет вращения.

«n₁c, n₂c» определяются путём измерения из плана ускорений в мм.

Аналогично можно рассчитать кинематические характеристики для другого положения механизма.

Динамика машин и механизмов

Силовой расчет механизмов

Силовой расчет механизмов относится к решению первой задачи динамики. Как видно из содержания задач динамики, приведенного выше, первая задача включает в себя две части: изучение сил, действующих на звенья механизма; определение неизвестных сил при заданном законе движения на ведущем звене.