Лабораторная работа № 4. Анализ системы управления в пространстве состояний.

Тема лабораторной работы. Анализ системы управления в пространстве состояний.

Цель лабораторной работы. Получение практических навыков анализа систем управления.

Задание. Функциональная схема системы управления изображена на рисунке 1.

Структурные схемы регулятора и измерительного устройства приведены на рисунках 2 и 3.

Рис. 1. Функциональная схема системы управления

 

 

Рис. 2. Структурная схема регулятора

 

Рис. 3. Структурная схема измерительного устройства

 

Элементы регулятора и измерительного устройства имеют следующие передаточные функции:

; ; .                                       (1)

Процессы, происходящие в объекте управления, в пространстве состояний описывают следующими дифференциальными уравнениями с нулевыми начальными условиями:

;                                       (2)

.                                                          (3)

Параметры передаточных функций (1) и уравнений (3), (3) для различных вариантов задания приведены в таблице.

 

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Kn	0.1	0.25	0.5	1.0	1.5	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0
Ku	10.0	9.75	9.5	9.25	9.0	8.75	8.5	8.2	8.0	7.5	7.0	6.5	6.0	5.5
Tu	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25
q	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
A1,1	-0.1	-0.2	-0.3	-0.4	-0.5	-0.6	-0.7	-0.8	-0.9	-1.0	-0.1	-0.2	-0.3	-0.4
A1,2	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4
A2,1	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0	0.5	1.0
B1	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.5	1.75	2.0	2.5
B2	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0

 

№ варианта	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
Kn	0.1	0.25	0.5	1.0	1.5	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0
Ku	5.0	4.5	4.0	3.5	3.0	2.5	2.0	1.5	1.0	0.5	0.25	0.15	0.1	1.0
Tu	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
q	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
A1,1	-0.1	-0.2	-0.3	-0.4	-0.5	-0.6	-0.7	-0.8	-0.9	-1.0	-0.1	-0.2	-0.3	-0.4
A1,2	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4
A2,1	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0	0.5	1.0
B1	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.5	1.75	2.0	2.5
B2	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	1.0	0.5

 

При выполнении лабораторной работы необходимо:

1. По критерию управляемости Калмана определить, управляем ли объект управления.

2. По критерию наблюдаемости Калмана определить, наблюдаем ли объект управления.

3. Составить передаточную функцию системы управления и по корням характеристического уравнения выполнить анализ устойчивости:

а) системы управления с П-регулятором;

б) системы управления с ПИ-регулятором.

4. Определить функциональные зависимости управляющего воздействия  от переменных состояния объекта управления и  для П-регулятора и ПИ-регулятора.

5. Составить дискретную модель в пространстве состояний (исключив из уравнений (2), (3) управляющее воздействие):

а) системы управления с П-регулятором;

б) системы управления с ПИ-регулятором.

 Шаг квантования времени принять равным =0,01 с.

6. Моделированием на ЭВМ определить графики переходных процессов для переменных состояния  и  объекта управления с П-регулятором и ПИ-регулятором ( =0, 1, …, N). При моделировании считать, что требуемый закон изменения выходного сигнала измерительного устройства задан формулой:

 .                                            (4)

По графикам переходных процессов определить прямые показатели качества регулирования.

7. Составить отчет по лабораторной работе.

 

Методические указания к выполнению задания

 

Система управления (рис. 1) имеет следующую модель:

; ;                               (a)

;              (b)                                         

.                                           (c)

1. Из уравнений (b) и (с) видно, что объект управления имеет 2 переменные состояния:  и .

Из структурной схемы измерительного устройства (рис. 3) следует, что система, образованная объектом управления и измерительным устройством, имеет следующую модель в пространстве состояний:

;                                                     (d)

.                                                                        (e)

Составим матрицу управляемости (при n=2):

.

Так как

,

то

.

Ранг матрицы управляемости равен 2, так как эта матрица имеет две строки и два столбца, а ее определитель равен 1.

Таким образом, объект управляем.

2. Составим матрицу наблюдаемости (при n=2):

,

поэтому

.

Ранг матрицы наблюдаемости равен 2, так как эта матрица имеет две строки и два столбца, а ее определитель равен 1.

Таким образом, система "объект – измерительное устройство" наблюдаема.

3. Для составления передаточной функции системы управления определим передаточную функцию объекта управления. Для этого из уравнений (b) и (с) исключим переменную . В результате получим следующее уравнение:

.

Поэтому передаточная функция объекта управления такова:

.

Из схемы системы управления (рис. 1) видно, что передаточная функция прямой цепи

.

Передаточная функция разомкнутой цепи

.

Передаточная функция системы управления (с отрицательной обратной связью)

.

Составим характеристическое уравнение системы управления:

.

Это уравнение имеет действительные корни:

; .

Один корень характеристического уравнения равен нулю, другой – отрицательный. Поэтому по критерию Ляпунова система управления находится на границе устойчивости (в критическом состоянии).

Вывод: Систему управления применять по назначению нельзя.

4. Из рисунка 2 видно, что регулятор имеет следующую модель в пространстве состояний:

.

5. Составим дискретную модель системы управления:

; k=1, 2, …, N;         (f)  

;                                                                       (g)

.                                                                        (l)

6. Решить на ЭВМ систему уравнений (f), (g), (l), (4) с помощью математического пакета Mathcad.

Построить графики переходных процессов для переменных состояния объекта управления  и . По графикам переходного процесса определить прямые показатели качества управления (для переменных состояния  и ).

Составить отчет по результатам выполнения задания.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятия «передаточная функция системы». Как определить передаточные функции типовых соединений звеньев с известными передаточными функциями?

2. Объясните понятие «структурная схема системы». Изобразите структурную схему ПИ-регулятора.

3. Какими свойствами обладают системы управления с П- и ПИ-регуляторами?

4. Объясните понятие «управляемость системы». Дайте определение критерия управляемости Калмана.

5. Объясните понятие «наблюдаемость системы». Дайте определение критерия наблюдаемости Калмана.

6. Объясните понятие «статическая погрешность системы управления». Как вычислить статическую погрешность системы управления с известной передаточной функцией?

7. Объясните понятие «устойчивая система». Дайте определение критерия устойчивости линейной непрерывной системы.

8. Объясните понятие «неустойчивая система». Дайте определение критерия неустойчивости линейной непрерывной системы.

9. Объясните понятие «система находится на границе устойчивости». Дайте определение критерия нейтральной (критической) линейной непрерывной системы.

10. Как составить характеристическое уравнение системы с известной передаточной функцией?

Пример программы вычисления по уравнениям (f), (g), (l), (4) массивов значений переменных состояния  и :

 

Из сравнения графиков изменения переменных  и  (реализованного и требуемого изменения выходного сигнала объекта управления) подтверждают сделанный ранее вывод о том, что эту систему по назначению применять нельзя.