Лабораторная работа № 2. Моделирование многомерного нелинейного объекта управления.

Тема лабораторной работы. Моделирование многомерного нелинейного объекта управления.

Цель лабораторной работы. Получение практических навыков моделирования и анализа многомерных систем управления с использованием математической модели в пространстве состояний.

Задание. Функциональная схема объекта управления изображена на рисунке 1.

			F2
	F1

Рис. 1. Объект управления

где: G_вх, G_вых, G₁₂ – расход жидкости на входе, между емкостями и на выходе из системы:

;                     

;     

;

где:

F_j – площадь поперечного сечения j-ой емкости;

h_j – уровень жидкости в емкости j;

v _j – положение j-го крана;

α₁, α₁₂, α₂ – параметры;

H₁, H₂ – напор жидкости на выходе и входе.

Изменение уровней в емкостях описывают нелинейные уравнения состояния анализируемой системы (уравнения материального баланса):

                          (1)

                       (2)

Начальные значения уровней  в емкостях определяют решением уравнений:

                             (3)

                           (4)

при заданных значениях параметров и входных воздействий.

Уровнемер установлен в емкости, номер j которой указан в таблице вариантов задания. Выходной сигнал уровнемера связан с уровнем уравнением наблюдения:

,                                                        (5)

где  - уровень в емкости j, значение которого определяют моделированием на ЭВМ;

.                                                (6)    

Изменение уровней в емкостях осуществляют с помощью управляющего воздействия

,                                                               (7)

где  - текущее значение положения крана с номером j, указанного в варианте задания. Изменение во времени управляющего воздействия осуществляется (с помощью регулятора) по следующему закону:

.                                                (8)

Положения остальных кранов остаются неизменными и равными первоначальным значениям.

Параметры уравнений (1)-(8) для разных вариантов задания приведены в таблице 1.

Таблица 1. Параметры объекта управления

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
F 1	1	2	3	1	2	3	4	1	2	3	1	2	3	2	1	3	2
F2	1	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2	1	2	2	2	1	3
H1	3	4	5	6	7	2	3	4	5	4	6	7	4	5	4	6	3
H2	0	1	0,5	1	0,5	1	0	0,3	0	0,2	0	1,5	0,5	1	0	1	0
α1	2	2	1	2	1	2	1	2	2	2	2	2	1	2	1	2	1
α2	2	2	2	1	2	1	2	2	1	1	1	2	1	1	2	2	2
α12	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5
v 1 (0)	0,5	0,3	0,2	0,3	0,5	0,5	0,2	0,5	0,3	0,6	0,45	0,3	0,25	0,3	0,6	0,5	0,35
v2(t) =const	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	0,9
v3(0)	0,5	0,3	0,2	0,3	0,5	0,5	0,2	0,5	0,3	0,6	0,35	0,3	0,3	0,35	0,5	0,35	0,25
u(t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)	v 3 (t)	v 1 (t)
Измеряют уровень	h1(t)	h1(t)	h2(t)	h2(t)	h1(t)	h2(t)	h1(t)	h2(t)	h2(t)	h1(t)	h1(t)	h1(t)	h2(t)	h2(t)	h1(t)	h2(t)	h1(t)

 

 

При выполнении лабораторной работы необходимо:

1. Построить графики переходных процессов по нелинейным моделям.

2. Составить линеаризованную математическую модель ОУ в пространстве состояний. Линеаризацию выполнить в отклонениях от начального состояния (в момент времени t=0). Переменными состояния считать отклонения уровней от своих начальных значений:

; .                          (9)

3. Выполнить анализ управляемости и наблюдаемости объекта управления с помощью полученной линеаризованной модели.

4. Составить разностные модели объекта управления (квантование времени выполнить с постоянным шагом с.) с помощью метода Эйлера.

5. Моделированием на ЭВМ построить графики изменения во времени управляющего воздействия и уровней жидкости в емкостях с использованием нелинейных уравнений состояния (1)-(8).

6. Моделированием на ЭВМ построить графики изменения во времени переменных состояния объекта управления (отклонений уровней от своих начальных значений) с использованием уравнений линеаризованной модели ОУ.

7. Определить погрешности определения уровней жидкости в емкостях с помощью линеаризованной модели (решение нелинейных уравнений считать в качестве действительных законов изменения уровней).

8. Составить отчет.

 

Методические указания к выполнению задания

 

1. Определение начального состояния. Уравнения (4), (5) представим в следующем эквивалентном виде:

;            

.

Или:

;              

.

Составим векторы и матрицу

; ;

.

Тогда в матричном виде уравнения (4), (5) можно представить так:

.

Из решения этого уравнения определим начальные уровни в емкостях:

.                                                                 (10)

2. Составление линеаризованной математической модели ОУ в отклонениях от начального состояния. Составим новые переменные (отклонения входных воздействий и уровней в емкостях от своих начальных значений):

; ; ; .

В начальном состоянии объект управления находится в установившемся состоянии. Поэтому  и .

Дифференциальное уравнение (1) представим в следующей форме:

,                                              (11)

где

.

Разложим правую часть уравнения (11) в ряд Тейлора в окрестности начального состояния и оставим в этом разложении только линейные слагаемые. Тогда с учетом равенства (3) получим следующее линеаризованное уравнение:

,            (12)

где:

; 

;

; 

;  (13)

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (3).

Аналогичным образом нелинейному дифференциальному уравнению (4) соответствует линеаризованное уравнение в отклонениях от начального состояния:

,        (14)

где:

; ;

; ;   (15)

.

 − неконтролируемое возмущающее воздействие, обусловленное погрешностью линеаризации нелинейного дифференциального уравнения (4).

В результате уравнения состояния объекта управления в отклонениях от начального состояния можно представить в следующем виде:

,                                                                    (16)

где элементами матриц   и  являются постоянные коэффициенты  и , вычисленные по формулам (13) и (15).

В соответствии с заданием (табл. 1) в процессе управления изменяют положение только клапана, используемого для управления (), а остальные клапаны остаются в начальном состоянии (). Поэтому в уравнениях (12) и (14) нужно учитывать только коэффициенты , стоящие сомножителями при управляющем воздействии.

В частности, если для управления используют клапан с номером , то  и матрицу  нужно формировать так:

.

Уровнемер установлен в емкости с номером . В качестве выходного сигнала  измерительного устройства будем считать отклонение уровня в емкости с номером  от своего начального значения. Тогда уравнение наблюдения примет вид:

,

или в матичной форме:

,                                                                             (17)

где матрица  имеет отличный от нуля элемент  (с номером );  − погрешность измерений.

Таким образом, модель объекта управления в отклонениях от начального состояния включат в себя уравнение состояния (16) и уравнение наблюдения (17).

3. Анализ управляемости и наблюдаемости ОУ. Анализ управляемости и наблюдаемости нужно выполнить по соответствующим критериям Калмана с использованием линеаризованной модели объекта управления (16), (17), имеющей одно управляющее воздействие и две переменные состояния:  и .

Для этого нужно при числе переменных состояния  сформировать матрицу управляемости

,

матрицу наблюдаемости

и проверить с помощью Mathcad выполнение условий управляемости и наблюдаемости:

; .

4. Моделирование переходных процессов. Для этого нужно методом Эйлера составить разностные уравнения состояния объекта управления (см. методические указания к лабораторной работе № 1) и выполнить решение полученных уравнений с помощью Mathcad.