Лабораторная работа № 1. Моделирование в пространстве состояний одноконтурной системы управления.

Тема лабораторной работы. Моделирование в пространстве состояний одноконтурной системы управления.

Цель работы. Получение практических навыков составления математической модели в пространстве состояний одноконтурной системы управления и моделирования переходного процесса системы управления на ЭВМ в среде Mathcad.

Задание. Функциональная схема системы изображена на рисунке 1. Структурные схемы регулятора и измерительного устройства приведены на рисунках 2 и 3.

 

Рис. 1. Функциональная схема системы управления

 

П-регулятор имеет передаточную функцию  и, поэтому, формирует управляющее воздействие  по алгоритму:

; ,                                                        (1)

где:  − сигнал рассогласования в момент времени  между требуемым значением  и измеренным значением  управляемой переменной ;  − коэффициент усиления П-регулятора.

Рис. 2. Структурная схема регулятора

 

Объект управления имеет передаточную функцию по управляющему воздействию :

                                                                                   (2)

и передаточную функцию по возмущающему воздействию :

.                                                                                  (3)

Измерительное устройство имеет передаточную функцию:

.                                                                                                 (4)

Рис. 3. Структурная схема измерительного устройства

Параметры уравнений (1)-(3) для различных вариантов задания приведены в таблице1.

№ вари анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Kn	100	105	110	120	130	122	140	145	101	102	103	123	134	126	127	128	129	139	120	150
	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	3	1	4	1	3	1	2	4	3
	0.1	-0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	-0.1	-0.2	0.3	-0.4	-0.1	-0.2	-0.3	-0.4	-0.5	-0.6
a 1	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
a 2	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	1.5	2.0	1.5	1.0

 

При выполнении лабораторной работы необходимо:

1. Составить математическую модель в пространстве состояний объекта управления;

2. Составить математическую модель в пространстве состояний регулятора;

3. Составить математическую модель в пространстве состояний измерительного устройства;

4. Составить математическую модель в пространстве состояний системы управления;

5. Составить разностную модель системы управления. Шаг квантования времени принять равным =0,01 с.

6. Моделированием на ЭВМ построить графики переходных процессов для переменных состояния  и  объекта управления ( =0, 1, …, N).

При моделировании считать, что требуемый закон изменения управляемой переменной задан уравнением:

 .                                                             (5)

Погрешность измерений формировать с помощью генератора случайных чисел по алгоритму:

.                                                                            (6)

7. Составить отчет.

 

Методические указания к выполнению задания

 

1. Определение уравнений состояния по заданной передаточной функции системы. Математическую модель в пространстве состояний объекта управления следует представить в следующем каноническом виде:

;                                                                    (7)

,                                                                                                   (8)

где:  − вектор переменных состояния; , ,  и  − матрицы, элементы которых следует определить по заданным передаточным функциям элементов системы управления и ее функциональной схеме.

Задача определения уравнений состояния по передаточной функции системы есть, по существу, известная в теории диф­ференциальных уравнений задача приведения линейных урав­нений n -го порядка к нормальной форме Коши. Некоторое отличие состоит в том, что в теории управления принято рассматривать уравнения, в которые входят произ­водные не только от выхода, но и от входа системы.

Полагаем, что система задана передаточной функцией (с параметром ):

(9)

и является строго реализуемой, т.е. r < n.

Из передаточных функций (2) и (3) видно, что объект управления имеет 2 переменные состояния:  и , (следовательно, n=2, а r=1).

Уравнения состояния, получаемые по заданной переда­точной функции системы, определяются с точностью до произвольного невырожденного преобразования. Поэтому данной переда­точной функции соответствует множество различных уравне­ний состояния и поставленная задача решается неоднознач­но. Выбор формы уравнений состояния зависит от того, как они будут использоваться в дальнейшем. Рассмотрим неко­торые возможные варианты.

В некоторых приложениях желательно, чтобы значения пе­ременных состояния соответствовали определенным физиче­ским переменным. Тогда структура матриц А, В, G и С в уравнениях (7) и (8) оказывается за­данной и задача состоит в нахождении некоторых их элемен­тов. Эта задача может быть решена на основе обратного перехода от уравнений состояния к передаточной функции методом неопределенных коэффициентов.

Далее рассмотрим ситуацию, в которой физический смысл переменных состо­яния не имеет значения и выбор вида уравнений состояния происходит из других соображений.

Прежде всего, если задана только передаточная функция, естественно искать ее минимальную реализацию, т.е. та­кую форму уравнений состояния, при которой заданная пе­редаточная функция получается при наименьшей размерно­сти вектора переменных состояния(следовательно, - при минимально воз­можном порядке уравнений (7) и (8)). Как известно, минималь­ная реализация соответствует невырожденным (полностью управляемым и полностью наблюдаемым) системам. Для систем с одним входом и одним выходом это эквивалентно тому, что по уравнениям со­стояния получается несократимая передаточная функция, сте­пень полинома знаменателя которой совпадает с размерностью вектора состояния. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в числителе и знаменателе заданной передаточной функ­ции отсутствуют явно (структурно) выраженные общие со­множители. Это условие, впрочем, не исключает того, что передаточная функция задана в общем виде, но при определен­ных сочетаниях параметров найденная реализация не будет минимальной.

Итак, считаем, что степень знаменателя передаточной функ­ции задана и равна n. Поскольку характеристический мно­гочлен матрицы A совпадает со знаменателем передаточной функции, а степень характеристического многочлена рав­на размерности вектора переменных состояния, то искомые уравнения состояния должны быть n -го порядка.

Теперь можно использовать одну из ка­нонических форм. Проще всего получаются уравнения состо­яния в форме управляемого канонического представления (УКП).

Эти уравнения для передаточной функции (9) составляют по следующему алгоритму:

,

,

....

,

,

.

Для представления полученных уравнений в матричной форме (7), (8) необходимо задать матицы A, B и C следующим образом:

; ;                    (11)    

 

.

Действуя аналогичным образом с передаточной функцией (8) получим матрицу

                                 .                                                                (12)

2. Составление уравнений состояния измерительного устройства. Из структурной схемы измерительного устройства (рис. 3) следует, что выходной сигнал  измерительного устройства с передаточной функцией (4) связан с переменными состояния объекта управления уравнением наблюдения:

.                                                          (13)

3. Определение уравнений состояния П-регулятора. Из структурной схемы регулятора (рис. 2) и уравнений (1), (8) следует, что его выходной сигнал  связан с переменными состояния объекта управления уравнением:

.                                                 (14)

4. Составление уравнений состояния замкнутой системы управления. Для этого из уравнения состояния объекта управления необходимо исключить управляющее воздействие, используя уравнение (14). В результате получим модель системы управления в пространстве состояний в следующем виде:  

;                                                         (15)

,                                                                                    (16)

где:

; ; .                                             (17)

Уравнения (15)-(17) описывают модель системы управления в пространстве состояний и их можно использовать для анализа системы управления и моделирования переходных процессов в этой системе.

6. Составим дискретную модель системы управления методом Эйлера. Для этого выполним квантование времени с постоянным шагом  по формуле:

; .

В дискретный момент времени  заменим производные по времени приближенными выражениями:

;

.

В правых частях дифференциальных уравнений в дискретный момент времени  будем использовать приближенные значения переменных:

; ; .

В результате получим следующую систему разностных уравнений:

;  ;         (a)                                         

;                          ;           (b)

;                         k=1, 2, …, N.           (c)

Для построения графиков переходных процессов необходимо решить на ЭВМ систему уравнений (15), (16) (с использованием формул (a), (b), (c)) с помощью математического пакета Mathcad.

Построить графики переходных процессов для переменных состояния объекта управления  и .

7. Составить отчет по результатам выполнения задания (пояснения к п.п. 1-7 методических указаний).