Зависимость удельного сопротивления от температуры

,

где r ₀ – удельное сопротивление при температуре 0°С;

a – температурный коэффициент сопротивления;

t – температура по шкале Цельсия.

Работа и мощность электрического тока ,

где t – время протекания тока.

 

Закон Джоуля-Ленца                         .

Примеры решения контрольных задач

1. В углах при основании равнобедренного треугольника с боковой стороной 8 см расположены заряды Q₁ и Q₂. Определить силу, действующую на заряд 1нКл, помещенный в вершине треугольника. Угол при вершине 120°. Рассмотреть случаи:

а) Q₁ = Q ₂ = 2 нКл;

б) Q₁ = - Q ₂ = 2 нКл.

Дано: | Q₁ | = | Q₂ | = 2 · 10^-9 Кл; Q₃ = 10^-9 Кл; r = 0,08 м; a = 30°; e = 1.

Найти: F ₁; F ₂.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции поле каждого из зарядов Q₁ и Q₂ действует на заряд Q₁ независимо. Это значит, что на заряд Q ₃ действуют силы (рис. 1. а)

F ₁₃ = Q ₁ × Q ₃ /(4 p εε ₀ r ²), F ₂₃ = Q ₂ × Q ₃ /(4 p εε ₀ r ²)

Так как | Q₁ | = | Q₂ |, то |F ₁₃ | = |F ₂₃ |. Векторная сумма  является искомой величиной. Модуль силы определяется по теореме косинусов . В случае одноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис. 1. а видно, что угол b = 120°, поэтому F₁ =F₁₃ =F₂₃

В случае разноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис. 1. б видно, что угол b = 60° и, следовательно,

Ответ: F ₁ = 2,8 мкН; F ₂ = 4,8 мкН.

 

2. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью t = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях а₁ =0,5 см и а₂ = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано: R= 1 см, t = 20 нКл/м, а₁ =0,5 см, а₂ = 2 см.

Найти: j₁-j₂.

Решение. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля имеет вид

.

Для поля осевой симметрии, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или d j =- Edr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r ₁ и r ₂ от оси цилиндра:

.                                  (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

.

Подставляя, это выражение в (1), получим

,

или .

Произведем вычисления:

j ₁ - j ₂ =2·10^-8·1,8·10¹⁰ ln (3/1,5)=250 В.

Ответ: j ₁ - j ₂ =250 В.

 

3. Заряд 1 нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1 м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа совершается на последних 10 см пути?

Дано: r ₀ = 0,1 м; r ₁ = 1 м; r ₂ = 0,2 м; Q = 1 · 10^-9 Кл; e = 1;

t = 1 · 10^-б Кл/м.

Найти: A ₁, А ₂.

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом j _i в точку с потенциалом j₀

A = Q(j ₀ - j _i).                                                (1)

Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда t создает аксиально-симметричное поле напряженностью Е= t /(2 p ee ₀ r). Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением Е = - d j /dr, откуда d j = - Edr. Разность потенциалов точек поля на расстоянии r_i, и r₀ от нити

;

;

 .                                                              (2)

Подставив в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити:

;

 

Работа по перемещению заряда на последних 10 см пути

;

Ответ: А = 4,1 · 10^-5 Дж; А ₂ = 1,25 · 10^-5 Дж.

 

4. К одной из обкладок плоского конденсатора прилегает стеклянная плоскопараллельная пластинка (e ₁ = 7) толщиной 9 мм. После того как конденсатор отключили от источника напряжения 220 В и вынули стеклянную пластинку, между обкладками установилась разность потенциалов 976 В. Определить зазор между обкладками и отношение конечной и начальной энергии конденсатора.

Дано: U ₁ = 220 В; U ₂ = 976 В; d ₁ = 9·10^{-3 м;} e ₁ = 7; e ₂ = l.

Найти: d ₀; W₂/W₁.

Решение. После отключения конденсатора и удаления стеклянной пластинки заряд на его обкладках остается неизменным, т. е. выполняется равенство

C₁U₁ = C₂U₂ ,                                       (1)

где C ₁ и С ₂ – электроемкости конденсатора в начальном и конечном случае.

По условию конденсатор вначале является слоистым и его электроемкость определяется по формуле

,                                       (2)

где S – площадь обкладок; d ₀ – зазор между ними, d ₁ - толщина стеклянной пластинки; e ₁ и e ₂ – диэлектрические проницаемости стекла и воздуха соответственно.

После удаления стеклянной пластинки электроемкость конденсатора

.                               (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим

,

откуда

; .

Начальная и конечная энергии конденсатора

; .

Тогда отношение этих энергий W₂ /W₁ = C₂U₂²(C₁U₁²). Учитывая (1), получим

;

Ответ: d ₀ = 1·10^{-2 м; W} ₂/W ₁ = 4,44.

 

5. В медном проводнике сечением 6 мм² и длиной 5 м течет ток. За 1 мин в проводнике выделяется 18 Дж теплоты. Определить напряженность поля, плотность и силу электрического тока в проводнике.

Дано: S = 6·10^{-6 м2}; l = 5 м; t = 60 с; Q = 18 Дж; r = 1,7·10^-8 Ом·м.

Найти: E; j; J.

Решение. Для решения задачи используем законы Ома и Джоуля – Ленца. Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид

 

j = g E,                                                  (1)

где j – плотность тока; Е – напряженность поля; g - удельная проводимость.

Закон Джоуля – Ленца

Q=J²Rt.                                                (2)

Здесь J – сила тока, t – время,

    –                                        (3)

сопротивление проводника, где r, l, S – удельное сопротивление, длина и площадь поперечного сечения проводника соответственно.

Силу тока J находим из (2) с учетом (3):

;

По определению, плотность тока равна j = J/S;

j =4,6 A /(6 × 10^-6м²)=7,7 × 10⁵А/м².

Напряженность поля в проводнике определим из (1), учитывая, что g = 1/ r.

Е= j × ρ; E =7,7 × 10⁵А/м² × 1,7 × 10^-8Ом × м=1,3 × 10^-2В/м.

Ответ: Е = 1,3·10^-2 В/м; J = 4,6 А; j =7,7·10⁵ А/м².

 

6. Электродвижущая сила батареи равна 20 В. Коэффициент полезного действия батареи составляет 0,8 при силе тока 4 А. Чему равно внутреннее сопротивление батареи?

Дано: ε = 20 В; η = 0,8; J = 4 А.

Найти: r.

Решение. Коэффициент полезного действия источника тока η равен отношению падения напряжения во внешней цепи к его электродвижущей силе

η = RJ / ε,                                              (1)

откуда

R = ηε/J.                                               (2)

Используя выражение закона Ома для замкнутой цепи J = ε /(R + r ), получаем

.                                             (3)

Подставляя (2) в (3) и выполняя преобразования, находим

; .

Ответ: r = 1 Ом.

Задачи для контроля самостоятельной работы по Разделу № 3

 

3.01. Точечные заряды Q₁ = 20 мкКл и Q₂ = -10 мкКл находятся на расстоянии d = 5 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на расстояние r₁ = 3 см от первого и r₂ = 4 см от второго заряда и силу F, действующую в этой точке на точечный заряд Q =1 мкКл.

3.02. Три одинаковых точечных заряда Q₁ = Q₂ = Q₃ = 2 нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 10 см. Определить абсолютную величину и направление силы F, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

3.03. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол a. Шарики погружаются в масло. Какова плотность r₀ масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным? Плотность материала шариков r = 1,5 г/см³, диэлектрическая проницаемость масла e = 2,2.

3.04. Четыре одинаковых заряда Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q₄ = 40 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найти силу F, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных

3.05. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q₄ = 0,8 нКл. Какой отрицательный заряд Q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

3.06. На расстоянии d = 20 см находятся два точечных заряда Q₁ = - 50 нКл и Q₂ = 100 нКл. Определить силу F, действующую на заряд Q₃ = 10 нКл, удаленный от обоих зарядов на одинаковое расстояние, равное d.

3.07. Две круглые одинаковые пластины площадью S = 400см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q₁ = 400 нКл, другой Q₂ = - 200 нКл. Определить силу F взаимного притяжения пластин, если расстояние между ними: а) r = 3 мм; б) r = 10 м.

3.08. Два точечных заряда Q₁ = Q₂ = 10 ^{– 8} Кл расположены на расстоянии r = 20 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, удаленной на расстояние r от каждого заряда.

3.09. Найти напряженность E электрического поля в точке, расположенной посередине между точечными зарядамиQ₁ = 8 нКл и Q₂ = – 6 нКл. Заряды находятся в воде, а расстояние между ними r = 10 см.

3.10. Расстояние между двумя точечными зарядами q ₁ = 20 нКл и q ₂ = –30 нКл равно r = 10 см. Определить напряженность поля этих зарядов в точке, удаленной на расстоянии r ₁ = 8 см от первого заряда и на r ₂ = 6 см от второго заряда.

3.11. На бесконечном тонкостенном цилиндре диаметром d = 20 см равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью s = 4 мкКл/м². Определить напряженность поля в точке, отстоящей от поверхности цилиндра на расстоянии а = 15 см.

3.12. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии d = 5 см друг от друга. На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями t₁= - 5 нКл/см и t₂ =10 нКл/см. Определить напряженность E электрического поля в точке, удаленной от первой нити на расстояние r₁ = 3 см и от второй на расстояние r₂ = 4 см.

3.13. К бесконечной равномерно заряженной вертикальной плоскости подвешен на нити одноименно заряженный шарик массой m = 50 мг и зарядом Q = 0,6 нКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, F = 0,7 мН. Найти поверхностную плотность s заряда на плоскости.

3.14. С какой силой (на единицу длины) взаимодействуют две заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой линейной плотностью заряда t = 20 мкКл/м, находящиеся на расстоянии r = 10 см друг от друга?

3.15. Поверхностная плотность заряда s бесконечно протяженной плоскости равна 400 мкКл/м². К плоскости на нити подвешен заряженный шарик массой m = 10 г. Определить заряд Q шарика, если нить образует с плоскостью угол a = 30°.

3.16. Две параллельные бесконечные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых s₁ = 2 мкКл/м² и s ₂ = - 0,8 мкКл/м², находятся на расстоянии d = 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов j₁-j₂ между плоскостями.

3.17. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда s = 40 нКл/м². Определить разность потенциалов j₁-j₂ двух точек поля, отстоящих от плоскости на расстояниях r₁= 15 cм и r₂ = 20 см.

3.18. Четыре одинаковых капли ртути, заряженные до потенциала j = 10 В, сливаются в одну. Каков потенциал j₁ образовавшейся капли?

3.19. Электрическое поле образовано бесконечно длинной заряженной нитью, линейная плотность заряда которой t = 20 пКл/м. Определить разность потенциалов двух точек поля, отстоящих от нити на расстояниях r₁ = 8 см и r₂= 12 см.

3.20. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда t = 200 пКл/м. Определить потенциал j поля в точке пересечения диагоналей.

3.21. Пылинка массой m = 20 мкг, несущая на себе заряд Q = 40 нКл, влетела в электрическое поле в направлении силовых линий. После прохождения разности потенциалов U = 200 В пылинка имела скорость v = 10 м/с. Определить скорость v₀, пылинки до того, как она влетела в поле.

3.22. Электрон, обладавший кинетической энергией Т = 10 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов U = 8 В?

3.23. Найти отношение скоростей ионов Сu⁺⁺ и К⁺, про­шедших одинаковую разность потенциалов.

3.24. Электрон, пройдя в плоском воздушном конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость v = 10⁵ м/с. Расстояние между пластинами d = 8 мм. Найти: 1) разность потенциалов Uмежду пластинами; 2) поверхностную плотность заряда s на пластинах.

3.25. Пылинка массой m = 5 мкг, несущая на себе N = 10 электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 1 МВ. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка?

3.26. Ион атома лития Li⁺ прошел разность потенциалов U₁ = 400 В, ион атома натрия Nа⁺ – разность потенциалов U₂= 300 В. Найти отношение скоростей этих ионов.

3.27. Какую работу совершают силы поля, если одноименные заряды q ₁ = 1 нКл и q ₂ = 2 нКл, находившиеся на расстоянии r ₁ = 1 см, разошлись до расстояния r ₂ = 10 см?

3.28. Со скоростью u = 2×10⁷ м/с электрон влетает в пространство между обкладками плоского конденсатора в середине зазора в направлении, параллельном обкладкам. При какой минимальной разности потенциалов на обкладках электрон не вылетит из конденсатора, если длина конденсатора l = 10 см, а расстояние меж­ду его обкладками d = 1 см?

3.29. Заряд q ₁ = –1 нКл переместился в поле заряда q ₂ = +1,5 нКл из точки с потенциалом j ₁ = 100 В в точку с потенциалом j ₂ = 600 В. Опреде­лить работу сил поля и расстояние между этими точками.

3.30. Заряд q = 1 нКл находится на расстоянии r = 0,2 м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити. Под действием поля нити заряд перемещается на D r = 0,1 м. Определить линейную плотность заряда нити, если работа сил поля равна A = 0,1 мкДж.

3.31. Заряд на каждомиз двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью C ₁ = 18 пФ и C ₂ = 10 пФ равен q = 0,09 нКл. Определить напряжение: а) на батарее конденсаторов; б) на каждом конденсаторе.

3.32. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов D j = 300 В. Площадь пластин S = 1 см², напряженность поля между ними E = 300 кВ/м. Определить поверхностную плотность заряда на пластинах, емкость и энергию конденсатора.

3.33. Площадь пластин плоского слюдяного конденсатора S = 1,1 см², расстояние между ними d = 3мм. При разряде конденсатора выделилась энергия W = 1 мкДж. До какой разности потенциалов был заряжен конденсатор?

3.34. Энергия плоского воздушного конденсатора W = 0,4 нДж, разность потенциалов на обкладках U = 600 В, площадь пластин S = 1 см². Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.

3.35. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 2 мм, разность потенциалов U = 600 В. Заряд каждой пластины Q = 40 нКл. Определить энергию W поля конденсатора.

3.36. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора емкостью С = 10 пФ каждый, соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится емкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином.

3.37. Два конденсатора емкостью C₁ = 5мкФ и С₂ = 8 мкФ соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС e = 80 В. Определить заряды Q₁, и Q₂ каждого из конденсаторов и разности потенциалов U₁ и U₂ между их обкладками.

3.38. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 10 см каждая. Расстояние между пластинами d = 2 мм. Конденсатор присоединен к источнику напряжения U = 80 В. Определить заряд Q и напряженность Е поля конденсатора в двух случаях: а) диэлектрик - воздух; б) диэлектрик - стекло.

3.39. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно в батарею, которая подключена к источнику тока с ЭДС e = 12 B. Определить, на сколько изменится напряжение на одном из конденсаторов, если другой погрузить в трансформаторное масло.

3.40. Плоский конденсатор с площадью пластин S = 200 см² каждая заряжен до разности потенциалов U = 2 кВ. Расстояние между пластинами d = 2 см. Диэлектрик - стекло. Определить энергию W поля конденсатора и плотность w энергии поля.

3.41. Определить электродвижущую силу аккумуляторной ба­тареи, если ток короткого замыкания I _КЗ = 10 А, а при подклю­чении к ней резистора сопротивлением R = 2 Ом сила тока в цепи равна I = 1 А.

3.42. Определить число электронов, проходящих в секунду через единицу площади поперечного сечения железной проволоки длиной l = 20 м при напряжении на ее концах U = 16 В.

3.43. При внешнем сопротивлении R₁ = 8 Ом сила тока в цепи I₁ = 0,4 А, при сопротивлении R₂ = 6 Ом сила тока I₂ = 0,5 А. Определить силу тока I короткого замыкания источника ЭДС.

3.44. Гальванический элемент дает на внешнее сопротив­ление R₁ = 0,5 Ом силу тока I₁ = 0,2А. Если внешнее сопротивление заменить на R₂ = 0,8 Ом, то элемент дает силу тока I₂ = 0,15 А. Определить силу тока короткого замыкания.

3.45. К зажимам аккумулятора присоединили никелиновый проводник длиной l = 2 м. Определить плотность тока в проводнике, если напряжение на зажимах U = 1,5 В, а удельное сопротивление никелина r = 4×10 ^–7 Ом×м.

3.46. Вольтметр с сопротивлением R = 1 кОм рассчитан для измерения напряжения не больше 15 В. Какое добавочное сопротивление надо присоединить к вольтметру, чтобы им можно было измерять напряжение 150 В?

3.47. Электрическая лампочка мощностью Р = 40 Вт рассчитана на работу при напряжении U = 120 В. Какое добавочное сопротивление R надо включить последовательно с лампочкой, чтобы ее можно было бы включить в сеть с напряжением U ₀ = 220 В?

3.48. По медному проводнику сечением S = 1 мм² течет ток силой I = 60 А. Определить среднюю скорость направленного движения электронов в проводнике. Считать число свободных электронов равным числу атомов меди.

3.49. Два одинаковых источника тока соединены в одном случае последовательно, в другом – параллельно и подключены к сопротивлению R = 1 Ом. При каком внутреннем сопротивлении r источника тока сила тока через сопротивление R в обоих случаях будет одинаковой?

3.50. Амперметр с сопротивлением R _А = 0,16 Ом зашунтирован сопротивлением R = 0,05 Ом (т.е. сопротивление подключено параллельно амперметру). Определить силу тока в цепи, если амперметр показывает силу тока I_A = 10 А.

3.51. Внутреннее сопротивление аккумулятора r = 1 Ом. При силе тока I = 2 А его КПД h = 0,8. Определить электродвижущую силу аккумулятора.

3.52. Электродвижущая сила аккумулятора автомобиля e = 12 В. При силе тока I = 3 А его КПД h = 0,8. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора.

3.53. К источнику тока подключают резистор один раз сопротивлением R ₁ = 1 Ом, другой раз – R ₂ = 4 Ом. В обоих случаях на резисторах за одно и то же время выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока.

3.54. Э.д.с. батареи e = 12 В. При силе тока I = 4 А КПД батареи h = 0,6. Определить внутреннее сопротивление r батареи.

3.55. К источнику тока с ЭДС e = 12 В присоединена нагрузка. Напряжение U на клеммах источника стало при этом равным 8 В. Определять КПД источника тока.

3.56. Внешняя цепь источника тока потребляет мощность Р = 0,75 Вт. Определить силу тока в цепи, если ЭДС источника тока e = 2 В и внутреннее сопротивление r = 1 Ом.

3.57. Лампочка и реостат, соединенные последовательно, присоединены к источнику тока. Напряжение на зажимах лампочки U = 40 В, сопротивление реостата R = 10 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность Р = 120 Вт. Найти силу тока в цепи.

3.58. При силе тока I ₁ = 3 А во внешней цепи аккумуляторной батареи выделяется мощность Р ₁ = 18 Вт, а при силе тока I ₂ = 1 А – мощность Р ₂ = 10 Вт. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

3.59. Источник тока, сопротивление и амперметр соединены последовательно. Источника тока имеет ЭДС e = 2 В и внутреннее сопротивление r = 0,3 Ом. Амперметр показывает силу тока I = 1 А. Каков КПД источника тока?

3.60. Какая наибольшая полезная мощность Р_max может быть получена от источника тока с ЭДС e = 12 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом?

Раздел №4 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ