Раздел №2 молекулярная физика и термодинамика

Основные формулы (справочный материал)

Количество вещества                                                     ,

где N – число молекул;

     N _A – число Авогадро;

     т – масса вещества;

     М – молярная масса.

Уравнение Клапейрона-Менделеева                           ,

где р – давление газа;

     V – его объём;

     R – универсальная газовая постоянная;

     Т – термодинамическая температура.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

                                                             ,

где  – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы;

      – масса молекулы;

      – средняя квадратичная скорость молекулы.

Средняя энергия молекулы                                                   ,

где i – число степеней свободы;

     k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа                         .

Скорости молекул:

              средняя квадратичная      ;

              средняя арифметическая ;

              наиболее вероятная         .

Средняя длина свободного пробега молекулы ,

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы за единицу времени

.

Распределение молекул в потенциальном силовом поле                                                                                                ,

где  – потенциальная энергия молекулы.

Барометрическая формула                                           .

Уравнение диффузии                                           ,

где D – коэффициент диффузии;

    r – плотность;

    dS – элементарная площадка, перпендикулярная оси ОХ.

 

Уравнение теплопроводности                            ,

где k – коэффициент теплопроводности.

Сила внутреннего трения                                    ,

где h – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии                                      .

Вязкость (динамическая)                                     .

Теплопроводность                                       ,

где с _V – удельная изохорная теплоемкость.

 

Молярная теплоемкость идеального газа:

              изохорная                                   ;

              изобарная                             .

Первый закон термодинамики

                     

Работа расширения газа при процессе:

              изобарном                         ;

              изотермическом                ;

              адиабатическом                       

                                                            

                                                             ,

где .

 

Уравнения Пуассона                                  ,

                                                                      ,

                                                                      .

 

Коэффициент полезного действия цикла Карно                                                                                               ,

где Q ₁ и Т ₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя и его температура;

     Q ₂ и Т ₂ – количество теплоты, переданное холодильнику и его температура.

 

Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

.

 

Примеры решения контрольных задач

 

1. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь из 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и моляр­ную массу смеси газов.

Дано: V = 2 м³, m ₁ = 4 кг, M ₁ = 4 · 10^-3 кг/моль, m ₂ = 2 кг,

М ₂ = 2 · 10^‑3 кг/моль, T = 300 К.

Найти: Р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона - Менделеева, применив его к гелию и водороду:

p₁V = m₁RT/M₁;                                           (1)

p₁V = m₂RT/M₂,                                             (2)

где p ₁ – парциальное давление гелия; m ₁ – масса гелия; M ₁ –его молярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная; р ₂ – парциальное давление водорода; m ₂ – масса водорода; M ₂ – его молярная масса. Под парциальным давлением р ₁ и р ₂понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

                                 .                                                   (3)

Из уравнения (1) и (2) выразим р ₁ и р ₂ и подставим в уравнение (3). Тогда

    .                     (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

,                                       (5)

где v ₁ и v ₂ – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:

v ₁ = m ₁/ M ₁; v ₂ = m ₂/ M ₂.                                      

Подставив это в (5), найдем

.                                   (6)

Подставив числовые значения в формулы (4) и (6), получим

.

 

Ответ: р = 2,49×10⁶ Па = 2,49 МПа; М = 3 · 10 ^{– 3} кг/моль.

2. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m = 2 кг, T = 400 К, М = 2·10^-3 кг/моль.

Найти: < ε _пост>; < ε _вр>.

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода i = 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия < ε _i> = kT /2, где k – постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура. Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i = 2) степени свободы. Тогда энергия соответствующего движения одной молекулы

; .

Число молекул, содержащихся в массе газа,

,

где v – число молей; N_A – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

,                 (1)

где R = kN_A – газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

.                                (2)

Подставив числовые значения в формулы (1) и (2), получим

,

 

Ответ: < ε _пост> = 4,98 МДж, < ε _вр> = 3,32 МДж.

 

3. Вычислить удельные теплоемкости водорода при постоянном объеме c_V и при постоянном давлении c_P, считая газ идеальным.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

, ,

где i – число степеней свободы молекулы газа, водород – двухатомный газ, поэтому для него i =5, М =0,002 кг/моль – молярная масса водорода.

Произведем вычисления:

 кДж/(кг·К);

 кДж/(кг·К).

Ответ: с _V =10,4 кДж/(кг·К), с _P =14,6 кДж/(кг·К).

 

4. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего тренияазота, находящегося при температуре 300 К и давлении 10⁵Па.

Дано: r ₀ = 1,25 кг/м³, М = 28·10^-3 кг/моль, Т = 300 К, р = 10⁵ Па, d = 3,l·10^‑10 м.

Найти: D; h.

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

,                                                (1)

где  - средняя арифметическая скорость молекул, равная

;                                  (2)

 – средняя длина свободного пробега молекул, которая вычисляется по формуле

.

С учетом того, что давление p = nkT, получим

.                                      (3)

Подставив (2) и (3) в выражение (1), получим

.                  (4)

Коэффициент внутреннего трения

,                                      (5)

где r - плотность газа. Для нахождения r воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его при нормальных условиях: Т ₀ = 273 К, р = 1,01 · 10^s Па, и для состояния в условии задачи:

;            .               (6)

Учитывая, что r ₀ = m/Vo, r = m/V, получим

.                                          (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

.                               (8)

Подставив числовые значения в (4) и (8), получим

.

 

Ответ: D = 4,7 · 10^-5 м²/с, h = 5,23 · 10^-5 кг/(м · с).

5. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m = 160 г = 16 · 10^{-2 кг, T} ₁ = 320 К, T ₂ = 340К.

Найти: Q, D U; A.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении,

Q = mc_p(T₂-T₁) = (m/M)C_p(T₂-T₁).                           (1)

Здесь с_р и C_p = Mc_p – удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; М = 32 · 10^-3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

С _p = 7/2 · R; С _p = 3,5 · 8,31 Дж/(моль · К) = 29 Дж/(моль · К).

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

                              (2)

где С _v – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Для двухатомных газов

C _v = 5/2 R; C _v = 2,5·8,31 Дж/(моль · К) = 20,8 Дж/(моль · К).

Работа расширения газа при изобарном процессе А = p· D V, гдеизменение объема газа D V = V₂ –V₁ можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева. При изобарном процессе

pV₁ = (m/M)RT₁;                                            (3) 

pV ₂ = (m / M) RT ₂.                                             (4) 

Почленным вычитанием выражения (4) из (3) находим

p (V ₂ - V ₁) = (m / M) R (T ₂ – T ₁),

следовательно,

A=(m/M)R(T₂ –T₁).                                         (5)

Подставив числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получим

;

;

Ответ: Q = 2900 Дж; D U = 2080 Дж; А = 840 Дж.

 

6. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: Т ₁ = 500 К, Т ₂ = 400 К, Q ₁ = 1675Дж.

Найти: h, N.

Решение. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле

h = (Т₁ – Т ₂)/ Т ₁                                    (1)

или

h = А / Q.                                             (2)

Из выражений (2) и (1) находим

.

Произведем вычисления:

.

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины 335 Вт.

Ответ: h = 0,2; N = 335 Вт.

Задачи для контроля самостоятельной работы по Разделу № 2

 

2.1. В баллоне объемом V = 15 л находится аргон под давлением p₁ = 600 кПа и температуре Т₁ = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество аргона, давление в баллоне понизилось до p₂ = 400 кПа, а температура установилась Т₂ = 260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

2.2. Вычислить плотность r азота, находящегося в баллоне под давлением p = 2 МПа при температуре Т = 400 К.

2.3. Определить относительную молекулярную массу М газа, если при температуре Т = 221 К и давлении Р = 2,8 МПа он имеет плотность r = 6,1 кг/м³.

2.4. В баллоне емкостью V = 50 л находится сжатый водород при температуре t = 27 °С. После того как часть воздуха выпустили, давление понизи­лось на D p = 10⁵ Па. Определить массу выпущенного водорода. Процесс считать изотермическим.

2.5. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого R = 0,1 м, находится азот массой т = 56 г. До какой температуры можно нагреть сосуд, если его стенки выдерживают давление р = 5×10⁵ Па?

2.6. При температуре Т = 300 К и давлении р = 1,2×10⁵ Па плотность смеси водорода и азота r = 1 кг/м³. Определить молярную массу смеси.

2.7. В баллоне емкостью V = 0,8 м³ находится m₁ = 2 кг водорода и m₂ = 2,9 кг азота. Определить давление смеси, если температура окружающей среды t = 27 °С.

2.8. До какой температуры можно нагреть запаянный сосуд, содержащий m = 36 г воды, чтобы он не разорвался, если известно, что стенки сосуда выдерживают давление p = 5×10⁶ Па? Объем сосуда V = 0,5 л.

2.9. При температуре t = 27 °С и давлении p = 10⁶ Па плотность смеси кислорода и азота r = 15 г/дм³. Определить молярную массу смеси.

2.10. В баллоне емкостью V = 24 л находится водород при температуре t = 17°С. После того, как часть водорода израсходовали, давление в баллоне уменьшилось на D р = 4,05×10⁵ Па. Какое количество водорода было израсходовано, если процесс изотермический?

2.11. Определить суммарную кинетическую энергию Е_к поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде объемом V = 3 л под давлением Р = 540 кПа.

2.12. Количество вещества гелия n = 1,5 моля, температура Т = 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул этого газа.

2.13. Молярная внутренняя энергия U некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

2.14. Определить среднюю кинетическую энергию одной молекулы водяного пара при температуре Т = 500 К.

2.15. Определить среднюю квадратичную скорость молекулы газа, заключенного в сосуде объемом V = 2 л под давлением Р = 200 кПа. Масса газа m = 0,3 г.

2.16. Водород находится при температуре Т = 300 К. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию всех молекул этого газа. Количество вещества водорода n = 0,5 моль.

2.17. При какой температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа равна 4,14х10^-21 Дж?

2.18. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул, содержащихся в т = 0,20 г водорода при температуре t = 27 °С.

2.19. Давление идеального газа p = 10 мПа, концентрация молекул n = 8×10¹⁰ см^-3. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.

2.20. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы аргона и водяного пара при температуре T = 500 К.

2.21. Определить показатель адиабаты g идеального газа, который при температуре Т = 350 К и давлении Р = 0,4 МПа занимает объем V = 300 л и имеет теплоемкость при постоянном объеме C_V= 857 Дж/К.

2.22. Определить относительную молекулярную массу М_r и молярную массу M газа, если разность его удельных теплоемкостей С_P-С_V = 2,08кДж/(кг×К).

2.23. В сосуде объемом V = 6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость C_V этого газа при постоянном объеме.

2.24. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкость С_V = 10,4 кДж/(кг×К), С_P = 14,6 кДж/ (кг×К).

2.25. Найти удельные c_V и c_P и молярные С_V и С_P теплоемкости азота и гелия.

2.26. Вычислить удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении, зная, что его молярная масса М = 4×10^-3 кг/моль и отношение теплоемкостей С_P/C_V=1,67.

2.27. Трехатомный газ под давлением Р = 240 кПа и температуре t = 20°С занимает объем V =10 л. Определить теплоемкость С_р этого газа при постоянном давлении.

2.28. Относительная молекулярная масса газа М_r = 30, показатель адиабаты g = 1,40. Вычислить удельные теплоемкости С_V и С_P и этого газа.

2.29. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить аргону массой т = 400 г, чтобы нагреть его на D Т = 100 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.

2.30. Определить, какое количество теплоты необходимо сооб­щить кислороду массой т = 500 г, чтобы нагреть его на D Т = 10 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.

2.31. В сосуде емкостью V = 1 л содержится кислород массой m = 32 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре T = 100 К.

2.32. Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробега молекул углекислого газа при тем­пературе T = 400 К и давлении p = 1,38 Па.

2.33. В сосуде емкостью V = 1 л находится m = 4,4 г углекислого газа. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.

2.34. Определить коэффициент диффузии гелия при давлении p = 10⁶ Па и температуре t = 27 °С.

2.35. Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуре T = 400 К.

2.36. В сосуде емкостью V = 5 л содержится m = 40 г аргона. Опреде­лить среднее число соударений молекул в секунду при температуре T = 400 К.

2.37. Определить коэффициент внутреннего трения воздуха при температуре T = 100 К.

2.38. Определить коэффициент диффузии азота при давлении p = 0,5×10⁵ Па и температуре t = 127 °С.

2.39. Для кислорода при нор­мальных условиях динамическая вязкость h = 1,9×10 ^{– 4} Па×с. Определить коэффициент теплопроводности кислорода.

2.40. Для водорода при нормальных усло­виях коэффициент диффузии D = 9,1×10 ^{– 5} м²/с. Определить коэффициент теплопроводности водорода.

2.41.Во сколько раз увеличится объем n = 2 молей кислорода при изотермическом расширении при температуре Т = 300 К, если при этом газу сообщили теплоту Q = 4 кДж.

2.42. Какое количество теплоты нужно сообщить n = 2 молям воздуха, чтобы он совершил работу А = 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарическом процессе.

2.43. Найти работу и изменение внутренней энергии при ади­абатном расширении т = 28 г азота, если его объем увеличился в два раза. Начальная температура азота t = 27 °С.

2.44. Кислород, занимающий объем V ₁ = 10 л и находящийся под давлением р = 2×10⁵ Па, адиабатно сжат до объема V ₂ = 2 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии кислорода.

2.45. Определить количество теплоты, сообщенное т = 88 г углекислого газа, если он был изобарически нагрет от Т₁ = 300 К до Т₂ = 350 К. Какую работу при этом совершил газ и как изменилась его внутренняя энергия?

2.46. Объем водорода при изотермическом расширении увеличился в n = 3 раза. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту Q, полученную им при этом. Масса m водорода равна 200 г, температура t = 27^oC.

2.47. Водород массой m = 40 г, имевший температуру Т₁ = 300 К, адиабатически расширился, увеличив объем в n₁ = 3 раза. Затем при изотермическом сжатии объем газа уменьшился в n₂ = 2 раза. Определить полную работу А, совершенную газом, и конечную температуру Т₂ газа.

2.48. При изобарном нагревании азоту массой т = 20 г сообщили теплоту Q = 3116 Дж. На сколько изменились температура и внутренняя энергия газа?

2.49. При изотермическом расширении одного моля водорода была затрачена теплота Q = 4 кДж, при этом объем водорода увеличился в пять раз. При какой температуре протекал процесс? Чему равно изменение внутренней энергии газа, какую работу совершил газ?

2.50. Во сколько раз увеличится объем водорода,  содержащий количество вещества n = 0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит теплоту Q = 300 Дж? Температура водорода Т = 300 К.

2.51. Определить изменение энтропии азота массой т = 14 г при изобарном нагревании от t ₁ = 27 °С до t ₂ = 127 °С.

2.52. Как изменится энтропия n = 2 молей углекислого газа при изотермическом расширении, если объем газа увеличится в четыре раза?

2.53. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теплоту Q₂ = 4 кДж. Определить температуру Т₁ нагревателя, если при температуре охладителя Т₂ = 280 К работа цикла А = 6 кДж.

2.54. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту Q₁ = 4,38 кДж и совершил работу А = 2,4 кДж. Определить температуру нагревателя, если температура охладителя Т₂ = 273 К.

2.55. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю 67% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру Т₂ охладителя, если температура нагревателя Т₁ = 430 К.

2.56. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия h цикла Карно при повышении температуры нагревателя от T₁ = 380 К до T₁’ = 560 К? Температура охладителя Т₂ = 280 К.

2.57. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура Т₁ нагревателя равна 500 К, температура охладителя Т₂ = 250 К. Определить термический КПД цикла, а также работу А₁, совершенную рабочим веществом при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа А₂ = 70Дж.

2.58. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q₁ = 84 кДж. Какую работу А совершает газ, если температура нагревателя в три раза выше температуры Т₂ охладителя?

2.59. Совершая цикл Карно, газ получил от нагревателя теплоту Q₁ = 500 Дж и совершил работу А = 100 Дж. Температура нагревателя T₁ = 400 К. Определить температуру Т₂ охладителя.

2.60. Определить изменение энтропии кислорода массой т = 32 г при изобарном нагревании от t ₁ = 57 °С до t ₂ = 157 °С.