Условие главных максимумов при дифракции на решетке

,

где d = l/N – период (постоянная) решетки;

l – длина решетки;

N – общее число щелей решетки;

φ – угол дифракции;

k = 0, 1, 2, 3, … – номер максимума (порядок дифракции).

Разрешающая способность дифракционной решетки ,

где Δ λ – разность длин волн двух соседних спектральных линий;

k = 1, 2, 3, … – порядок спектра.

 

Формула Вульфа-Брегга                           ,

где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла;

    q – угол скольжения рентгеновских лучей.    

Степень поляризации                                         ,

где I _max и I _min – максимальная и минимальная интенсивность света.

Закон Брюстера                                                   ,

где i_B – угол падения, при котором отраженная световая волна полностью поляризована (угол Брюстера);

 – относительный показатель преломления.

Закон Малюса                                            ,

где I ₀ и I – интенсивность плоско поляризованного света падающего и прошедшего через поляризатор;

α – угол между плоскостью поляризации падающего света и плоскостью пропускания поляризатора.

 

Угол поворота плоскости поляризации света:

в кристаллах и чистых жидкостях                      ,

в растворах                                                  ,

где α – постоянная вращения;

    [ α ] – удельная постоянная вращения;

d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

С – концентрация оптически активного вещества в растворе.

 

Примеры решения задач

 

1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом 1 с. Определить амплитуду колебаний, максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если полная энергия точки равна 0,02 Дж.

Дано: m = 0,01 кг, Т= 1 с, E = 0,02 Дж.

Найти: A, u _max, a _max.

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид

s = Asin (ωt + φ ₀)                                       (1)

где s – смещение материальной точки от положения равновесия,

А – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, t – время,

φ₀ – начальная фаза.

Скорость материальной точки равна первой производной от смещения по времени

.                               (2)

Максимальное значение скорости

.                                        (3)

Ускорение точки определяется как первая производная скорости по времени:

.                           (4)

Максимальное значение ускорения равно

a_max = ω ² A.                                        (5)

Полная энергия колебания складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии:

.                          (6)

Из этого выражения найдем амплитуду колебания

                                         (7)

Произведем вычисления, учитывая, что циклическая частота и период колебаний связаны соотношением

;

;

υ_max =6,28 c ^-1 ·0,32 м=2 м/с;

a_max =(6,28 c ^-1)²·0,32 м=12,6 м/с².

 

Ответ: А = 0,32 м, u _max = 2 м/с, a _max = 12,6 м/с².

 

2. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0,1 А/m. Определить энергию, переносимую этой волной через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, за время t =1 с. Период волны T << t.

Дано: H _m = 0,1 А/м, S = 1 м², t = 1 с, T << t, e = 1, m = 1.

Найти: W.

Решение. Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором Пойнтинга

,                                           (1)

где  и  – векторы напряженности электрического и магнитного полей. Учитывая, что векторы  и  электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, для модуля вектора  получим

р=ЕН.                                                  (2)

Так как величины E и H в каждой точке волны меняются со временем по гармоническому закону, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение

p = E_msinωt · H_msinωt = E_mH_msin ² ωt.                   (3)

Энергия, переносимая через площадку S, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени,

.              (4)

Учитывая, что в электромагнитной волне

,                            (5)

найдем

.                                  (6)

Тогда выражение (4) принимает вид

.                              (7)

 

Энергия, переносимая волной за время t, равна

.       (8)

По условию T << t, поэтому . Тогда

.                              (9)

Подставив числовые значения, получим

.

Ответ: W = 1,88 Дж.

 

3. Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1,25, меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с дли­ной волны 0,72 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 60°?

Дано: n = 1,25; l = 0,72 мкм; i = 60°.

Найти: d _min.

Решение. Оптическая разность хода лучей, отраженных от нижней и верхней поверхности пленки, равна

                              (1)

где d – толщина пленки, n - показатель преломления пленки,

i – угол падения лучей.

В выражении (1) учтено, что отражение лучей на обеих поверхностях происходит от оптически более плотной среды, и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга.

Условие возникновения интерференционного минимума имеет вид

Δ L =±(2 m -1) λ /2, m =1,2,…,                                  (2)

где l - длина волны света. Подставив (1) в (2) и учитывая, что выражение (1) положительно, получим

.                        (3)

Из (3) найдем возможные значения толщины пленки:

.                                          (4)

Наименьшее значение толщины пленки будет при m = 1:

                                      (5)

Подставив в (5) числовые значения, получим

.

Ответ: d _min = 0,2 мкм.

 

4. Постоянная дифракционной решетки 10 мкм, ее ширина 2 см. В спектре какого порядка эта решетка может разрешить дублет l ₁ = 486,0 нм и l ₂ = 486,1 нм?

Дано: d = 10 мкм, l = 2 см, l ₁ =486,0 нм, l ₂ = 486,1 нм.

Найти: k.

Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки

,                                       (1)

где D l - минимальная разность длин волн двух спектральных линий l и l + D l, разрешаемых решеткой; k – порядок спектра;

N – число щелей решетки.

Поскольку постоянная решетки d есть расстояние между серединами соседних щелей, общее число щелей можно найти так

,                                        (2)

где l – ширина решетки.

Из формулы (1) с учетом (2) находим

.                                     (3)

Дублет спектральных линий l ₁ и l ₂ будет разрешен, если

.                                        (4)

Подставив (3) в (4) и учитывая, что l = l ₁, получим

                                        (5)

Из выражения (5) следует, что дублет l ₁ и l ₂ будет разрешен во всех спектрах с порядком

.                                    (6)

Подставив числовые данные, получим

.

Так как k – целое число, то k ³ 3.

Ответ: k ³ 3.

 

5. Интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, уменьшилась в 2,3 раза. Во сколько раз она уменьшится, если за первым поставить второй такой же поляризатор так, чтобы угол между их главными плоскостями был равен 60°?

Дано: I₀/I₁ = 2,3; a = 60°.

Найти: I₀/I₂.

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается плоско поляризованный свет, интенсивность которого I₁ с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

.                                       (1)

где I ₀ – интенсивность естественного света; k – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение.

После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса, учитывая потери на отражение и поглощение света, имеем

,                                       (2)

где a – угол между плоскостью поляризации света, которая параллельна главной плоскости первого поляризатора, и главной плоскостью второго поляризатора.

Найдем, во сколько раз уменьшилась интенсивность света

.                                      (3)

Из (1) имеем

.                                         (4)

Подставив (4) в (3), получим

.                                       (5)

Проводя вычисления, найдем

.

Ответ: I ₀ / I ₂ = 10,6.

 

Задачи для контроля самостоятельной работы по Разделу № 5

5.01. Определить возвращающую силу F в момент времени t = 0,2 с и полную энергию W точки массой m = 20 г, совершающей гармонические колебания согласно уравнению х(t) = А×sin(wt), где А = 15 см; w = 4с^-1.

5.02. Определить период Т малых колебаний стержня длиной l = 30 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

5.03. Определить максимальное ускорение a _max материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 15 см, если наибольшая скорость точки V _тах =30 см/с. Написать также уравнение колебаний, если в начальный момент времени отклонение материальной точки от равновесия было максимальным.

5.04. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых х(t) = А×sin(wt), где А = 2 см; w = 10 с^-1. В момент, когда на точку действовала возвращающая сила F = -20 мН, точка обладала потенциальной энергией W = 0,1 мДж. Найти этот момент времени t и соответствующую фазу j колебаний.

5.05. Определить частоту v гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонтальной оси, проходящей через се­редину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

5.06. Определить период Т гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

5.07. На стержне длиной l = 30 см укреплены два одинаковых груза: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходя­щей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину l и период Т гармонических колебаний. Массой стержня пренебречь.

5.08. Найти максимальную кинетическую энергию W_max материальной точки массой m = 2 г, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и частотой v =5 Гц.

5.09. Материальная точка массой т = 7,1 г совершает гармоническое колебание с амплитудой А = 2 см и частотой n = 5 Гц. Чему равна максимальная возвращающая сила и полная энергия колебаний?

5.10. Для материальной точки, совершающей гармоническое колебание, амплитуда скорости u _тах = 8 см/с, а амплитуда ускорения а_тах = 16 см/с². Найти амплитуду смещения и циклическую частоту колебаний.

5.11. Напряжение на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону  В. Емкость конденсатора С = 10 мкФ. Найти индуктивность контура и закон изменения силы тока.

5.12. Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону  А. Индуктивность контура L = 0,1 Гн. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе и его емкость.

5.13. В колебательном контуре максимальная сила тока I_m = 0,2 А, а максимальное напряжение на обкладках конденсатора U_m = 40 В. Найти энергию колебательного контура, если период колебаний T = 15,7 мкс.

5.14. Конденсатору емкостью C = 0,4 мкФ сообщается заряд q = 10 мкКл, после чего он замыкается на катушку с индуктивностью L = 1 мГн. Чему равна максимальная сила тока в катушке?

5.15. Максимальная сила тока в колебательном контуре I_m = 0,1 А, а максимальное напряжение на обкладках конденсатора U_m = 200 В. Найти циклическую частоту колебаний, если энергия контура W = 0,2 мДж.

5.16. Катушка с индуктивностью L = 30 мкГн подключена к плоскому конденсатору с площадью пластин S = 0,01 м² и расстоянием между ними d = 0,1 мм. Определить диэлектрическую проницаемость вещества между пластинами, если контур настроен на длину волны l = 750 м.

5.17. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид  (В). Емкость конденсатора С = 0,1 мкФ. Найти период колебаний, индуктивность контура, закон изменения со временем силы тока в контуре и длину волны, соответствующую этим колебаниям.

5.18. Сила тока в колебательном контуре изменяется со временем по закону (А). Индуктивность контура L = 1 Гн. Найти период колебаний, емкость контура, максимальную энергию магнитного поля и максимальную энергию электрического поля.

5.19. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ и катушки с индуктивностью L = 5,1 мГн. При каком логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за время t = 1 мс уменьшится в 3 раза? Каково при этом активное сопротивление контура?

5.20. Колебательный контур состоит из конденсатор емкостью С = 405 нФ, катушки с индуктивностью L = 10 мкГн и сопротивления R = 2 Ом. Во сколько раз уменьшается разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период колебаний?

5.21. В вакууме распространяется плоская монохроматическая электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны H_m = 0,1 А/м. Определить амплитуду напряженности электрического поля волны и среднюю по времени плотность энергии волны.

5.22. В однородной и изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e = 2 и магнитной проницаемостью m = 1 распространяется плоская монохроматическая электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны Е_т = 50 В/м. Найти амплитуду напряженности магнитного поля и фазовую скорость волны.

5.23. Уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся в среде с магнитной проницаемостью m = 1, имеет вид  В/м. Определить диэлектрическую проницаемость среды и длину волны.

5.24. В вакууме распространяется плоская монохроматическая электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны Е_т = 100 В/м. Какую энергию переносит эта волна через площадку S = 50 см², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, за время t = 1 мин. Период волны Т << t.

5.25. В среде (e = 3, m = 1) распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны H_m = 0,5 А/м. На ее пути перпендикулярно направлению распространения расположена поглощающая поверхность, имеющая форму круга радиусом R = 0,1 м. Чему равна энергия,поглощенная этой поверхностью за время t = 30 с? Период волны Т << t.

5.26. Уравнение плоской волны, распространяющейся в упругой среде, имеет вид . Определить длину волны, скорость ее распространения и частоту колебаний.

5.27. Колеблющиеся точки удалены от источника колебаний на расстояние x₁ = 0,5 м и x₂ = 1,77 м в направлении распространения волны. Разность фазих колебаний D j = Зp/4. Частота колебаний источника n = 100 Гц. Определить длину волны и скорость ее распространения.

5.28. Чему равна разность фаз колебаний двух точек, если они удалены друг от друга на расстояние D х = 3 м и лежат на прямой, перпендикулярной фронту волны? Скорость распространения волны u = 600 м/с, а период колебаний Т = 0,02 с.

5.29. Плоская волна распространяется вдоль оси ОХ со скоростью u = 20 м/с. Две точки, находящиеся на расстоянии х ₁ = 12 м и х ₂ = 15 м от источника волны, колеблются с разностью фаз D j = 0,75 p рад. Найти длину волны и написать уравнение волны, если амплитуда колебаний А = 0,1 м и .

5.30. Найти разность фаз D j колебаний двух точек, лежащих на луче плоской монохроматической волны и отстоящих друг от друга на расстоянии D х = 2 м, если длина волны l = 1 м.

5.31. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны l = 500 нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину d_min пленки, если показатель преломления материала пленки n = 1,4.

5.32. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 2 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной l = 1 см укладывается N = 10 темных интерференционных полос. Длина волны l = 0,7 мкм.

5.33. Расстояние между двумя когерентными источниками d = 0,9 мм, а расстояние от источников до экрана l = 1,5 м. Источники испускают монохроматический свет с длиной волны l = 0,6 мкм. Определить число интерференционных полос, приходящихся на 1 см экрана.

5.34. В опыте Юнга одна из щелей перекрывалась прозрачной пластинкой толщиной d = 11 мкм, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое десятой светлой полосой. Найти показатель преломления пластины, если длина волны света l = 0,55 мкм.

5.35. На мыльную пленку под углом a = 45° падает белый свет. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в зеленый цвет (l = 0,54 мкм)? Показатель преломления мыльной воды n = 1,33.

5.36. На пленку из глицерина толщиной d = 0,25 мкм падает белый свет. Каким будет казаться цвет пленки в отраженном свете, если угол падения лучей равен a = 60°?

5.37. Для устранения отражения света на поверхность стеклянной линзы наносится пленка вещества с показателем преломления n = 1,3, меньшим, чем у стекла. При какой наименьшей толщине этой пленки не будет наблюдаться отражение света с длиной волны l = 0,48мкм, если угол падения лучей a = 30°?

5.38. Кольца Ньютона образуются между плоским стеклом и линзой с радиусом кривизны 10 м. Монохроматический свет падает нормально. Диаметр третьего светлого кольца в отраженном свете равен 8мм. Найти длину волны падающего света.

5.39. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим нормально. Длина волны света 0,5 мкм. Найти радиус кривизны линзы, если диаметр четвертого темного кольца в отраженном свете равен 8 мм.

5.40. В установке для наблюдения колец Ньютона пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Определить показатель преломления жидкости, если диаметр второго светлого кольца в отраженном свете равен 5 мм. Свет с длиной волны 0,615 мкм падает нормально. Радиус кривизны линзы 9 м.

5.41. Постоянная дифракционной решетки в n = 4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол j между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.

5.42. Расстояние между штрихами дифракционной решетки d = 4 мкм. На решетку падает нормально свет с длиной волны l = 0,58 мкм. Определить наибольший порядок максимумов, которые дает эта решетка.

5.43. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в n = 4,6 раза больше длины световой волны. Найти общее число М дифракционных максимумов, которые теоретически возможно наблюдать в данном случае.

5.44. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновских лучей. Расстояние между атомными плоскостями кристалла d = 280 пм. Под углом q = 65° к плоскости грани наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Определить длину волны l рентгеновских лучей.

5.45. Чему должна быть равна ширина дифракционной решетки с периодом 10мкм, чтобы в спектре второго порядка был разрешен дублет l₁ = 486,0 нм и l₂ = 486,1 нм?

5.46. Какую разность длин волн оранжевых лучей (l = 0,6 мкм) может разрешить дифракционная решетка шириной 3 см и периодом 9мкм в спектре третьего порядка?

5.47. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая световая волна (l = 600 нм). Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному минимуму, j = 20°. Определить ширину а щели.

5.48. Каждый миллиметр дифракционной решетки содержит 100штрихов. На экране красная линия (λ = 750 нм) в спектре первого порядка находится на расстоянии х = 2,5 см от центрального максимума. Определить расстояние от решетки до экрана.

5.49. На пути монохроматического света (l = 500 нм) поставлен непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром d = 4 мм. Определить, какое пятно будет в центре дифракционной картины, если экран находится от точки наблюдения на расстоянии l = 2 м. Считать, что источник света бесконечно удален от экрана.

5.50. Один миллиметр дифракционной решетки содержится N = 100штрихов. На экране, расположенном на расстоянии l = 70 cм от решетки, видна красная (λ = 750 нм) линия в спектре первого порядка. Определить, на каком расстоянии она находится от центрального максимума.

5.51. Угол падения a луча на поверхность стекла равен 60°. При этом отраженный луч оказался максимально поляризованным. Определить угол b преломления луча.

5.52. Луч света, идущий в стеклянном сосуде с глицерином, отражается от дна сосуда. При каком угле a падения отраженный луч максимально поляризован?

5.53. Пластинка кварца толщиной d₁ = 4 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на угол j₁ = 60°. Определить толщину d₂ кварцевой пластинки, помещенной между двумя скрещенными николями, чтобы интенсивность данного монохроматического света, прошедшего через николи, была максимальна.

5.54. Луч света переходит из глицерина в стекло так, что луч, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол j между падающим и преломленными лучами.

5.55. Кварцевую пластину поместили между скрещенными николями. При какой наименьшей толщине l_min кварцевой пластины поле зрения между николями будет максимально просветлено. Постоянная вращения a = 27 град/мм.

5.56. При прохождения света через трубку длиной l ₁ = 20 см, содержащую раствор сахара с концентрацией С₁ = 10%, плоскость поляризации света повернулась на угол j₁ = 13,3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной l ₂ = 15 см, плоскость поляризации повернулась на угол j₂ = 5,2^o. Определить концентрацию С₂ второго раствора.

5.57. Естественный свет проходит через два поляризатора, угол между главными плоскостями которых равен 30°. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы? Считать, что на отражение и поглощение каждым поляризатором приходится 10% падающего света.

5.58. Чему равен угол между главными плоскостями двух поля­ризаторов, если интенсивность прошедшего через них света уменьшилась в 5,3 раза? Считать, что на отражение и поглощение каждым поляризатором приходится 13% падающего света.

5.59. Естественный свет проходит через два поляризатора, угол между главными плоскостями которых 30°. Во сколько раз изменится интенсивность света, прошедшего эту систему, если угол между плоскостями поляризаторов увеличить в два раза?

5.60. Кварцевую пластинку толщиной 3 мм, вырезанную перпендикулярно оптической оси, поместили между двумя поляризаторами. Определить постоянную вращения кварца для красного света, если его интенсивность после прохождения этой системы максимальна, когда угол между главными плоскостями поляризаторов 45°.

 

Раздел № 6 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА