Основные формулы (справочный материал). Длина волны де Бройля ,

Длина волны де Бройля                                  ,

где h – Постоянная Планка;

       р – импульс частицы.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга:

              для координаты и импульса              ;

              для энергии и времени                         ,

где  – неопределенность координаты частицы;

     – неопределенность проекции импульса частицы на соответствующую координатную ось;

     – неопределенность энергии частицы в некотором состоянии;

     – время нахождения частицы в этом состоянии.

Плотность вероятности нахождения частицы

в соответствующем месте пространства                              ,

где y – волновая функция частицы.

Сериальные формулы спектра водородоподобных

атомов                                                                                               ,

где l – длина волны спектральной линии;

    R – постоянная Ридберга;

    Z – порядковый номер элемента;

    п = 1, 2, 3,...; k = п + 1, п + 2,....

Спектральные линии характеристического

рентгеновского излучения                                           ,

где а – постоянная экранирования.

Дефект массы ядра                                     

где т_р – масса протона;

    т_п – масса нейтрона;

    т_Н – масса атома ;

    т_а и т_я – масса атома и его ядра ;

    Z и А – зарядовое и массовое числа.

Энергия связи ядра                                              ,

где с – скорость света в вакууме.

Закон радиоактивного распада                                    ,

где N – число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент времени t;

N ₀ – число радиоактивных ядер в начальный момент времени (t = 0);

l – постоянная радиоактивного распада.

Период полураспада                                            .

Активность радиоактивного вещества                       .

Закон поглощения гамма-излучения веществом                  ,

где I – интенсивность излучения после прохождения слоя толщиной х;

I ₀ – интенсивность излучения, падающего на поверхность;

m – линейный коэффициент ослабления.

Энергия ядерной реакции                                   ,

где т ₁ и т ₂ – массы покоя частиц, вступающих в реакцию;

     – сумма масс покоя частиц, образовавшихся в результате реакции.

Примеры решения контрольных задач

1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию и длину волны испущенного при этом фотона.

Дано: m=4, n=2.

Найти: ε,l.

Решение. Энергия испущенного фотона будет определяться разностью энергий электрона на четвертом и втором энергетических уровнях:

ε= E_m - E_n.

Энергия электрона в атоме водорода на n-ом энергетическом уровне

, где E_i = 13,6 эВ энергия ионизации атома водорода.

Следовательно,

Длина волны излученного фотона

Произведем вычисления:

эВ.

м=488 нм.

Ответ: ε=2,55 эВ, l=488 нм.

 

2. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона.

Дано: Т = Е ₀/4, Е ₀ = 1,50·10^-10 Дж.

Найти: l.

Решение. Длина волны де Бройля l определяется по формуле

                                                                                                 (1)

где h – постоянная Планка, р –импульс частицы.

Так как по условию задачи

,                                                 (2)

кинетическая энергия Т протона сравнима с его энергией покоя Е ₀, импульс р и кинетическая энергия связаны релятивистским соотношением

                                   (3)

где с – скорость света в вакууме. Подставив в (3) условие (2), найдем

p = .                                                (4)

Учитывая равенство (4), запишем (1) в виде

                                        .                                                  (5)

Подставив в (5) числовые значения, получим

.

Ответ: l = 1,77·10^{-15 м.}

3. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 10 нс. Вычислить естественную ширину спектральной линии (l = 0,7 мкм), соответствующую переходу между возбужденными уровнями атома.

Дано: t = 10^-8 с; l = 7·10^{-7 м.}

Найти: D l _min.

Решение. При переходе электрона из одного стационарного состояния в другое излучается (или поглощается) энергия, равная

,                                                    (1)

где Е_n и Е_k – энергетические уровни атома, l - длина волны излучения, c – скорость света в вакууме, h – постоянная Планка.

Из (1) следует, что неопределенность длины волны D l излучения связана с неопределенностью энергии уровней D Е_n и D Е_k атома соотношением

.                                  (2)

Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга,

,                                            (3)

где D t – неопределенность момента времени перехода атома из одного стационарного состояния в другое.

Поскольку D t не превышает среднее время жизни t возбужденного состояния атома, минимальная неопределенность энергии возбужденных уровней, согласно (3), равна

.                                          (4)

Из (2) с учетом (4) найдем минимальную неопределенность длины волны излучения, которая называется естественной шириной спектральной линии

.                              (5)

Если одно из состояний, между которыми совершается переход, является основным, то

,                                    (6)

поскольку для основного состояния t = ∞. Для возбужденных состояний с одинаковым временем жизни t _n = t _k = t имеем

.                                           7)

Подставив в (7) числовые значения, получим

м).

Ответ: Dl_min = 5,2·10^{-14 м.}

 

4. Сколько атомов 1г трития ³₁Н распадается за среднее время жизни этого изотопа.

Дано: m = 10^{-3 кг}; t = t.

Найти: N ¹.

Решение. Согласно закону радиоактивного распада,

                                     (1)

где N – число нераспавшихся атомов в момент времени t, N₀ – начальное число радиоактивных атомов в момент t = 0, l - постоянная радиоактивного распада.

Среднее время жизни t радиоактивного изотопа – величина, обратная постоянной распада,

                                                                                   (2)    

По условию t = t. Подставив в (1) вместо tзначение t из (2), получим

.                                       (3)

Число атомов, распавшихся за время t = t, равно

                           (4)

Найдем число атомов N₀, содержащихся в массе m = 1г изотопа ³₁Н:

                           ,                                        (5)

где М = 3·10^-3 кг/моль – молярная масса изотопа ³₁Н, N_A – число Авогадро.

Учитывая (5), запишем выражение (4) в виде

                                             (6)

Подставив в (6) числовые значения, получим

.

Ответ: N’ = 1,27·10²³.

 

5. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .

Решение. Дефект массы D m ядра определяется по формуле

                                   (1)

где Z – зарядовое число, А – массовое число, m_р – масса протона, m_n – масса нейтрона, m_я – масса ядра.

Формулу (1) можно также записать в виде

,                      (2)

где – масса атома ¹₁ H; m_а – масса атома, дефект массы ядра которого определяется. Из справочных таблиц находим:

m _Н = 1,00783 а. е. м.; m_n = 1,00867 а. е. м.; m_О = 15,99492 а. е. м.

Подставив в (2) числовые данные (для ₈¹⁶О числа Z = 8 и А = 16), получим

D m = 0,13708 а. е. м.

Энергия связи ядра Е _свопределяется по формуле

,                                         (3)

где с – скорость света в вакууме.

Если дефект массы D m выражать в а. е. м., а энергию связи Е_св – в МэВ, то формула (3) принимает вид

.                                       (4)

Подставив в (4) числовые значения, получим

Е_св = 931 МэВ/а. е. м. ·0,13708 а. е. м. = 128 МэВ.

Удельная энергия связи e_св вычисляется по формуле

.                                            (5)

Проводя вычисления, получим

.

Ответ: D m = 0,13708 а. е. м.; Е_св = 128 МэВ; e _св = 8 МэВ.

 

6. Вычислить энергию ядерной реакции

Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение. Энергия ядерной реакции определяется по формуле

                                 (1)

где m ₁ и m ₂ – массы частиц, вступающих в реакцию; S m ¢_i - сумма масс частиц, образовавшихся в результате реакции.

Если массу частиц выражать в а. е. м., а энергию реакции в МэВ, то формула (1) принимает вид

                               (2)

При вычислении энергии ядерной реакции можно использовать вместо масс их ядер массы атомов. Из справочных данных находим:

m _Hе = 4,00260 а. е. м.; m _H = 1,00783 а. e. м.; m _Li = 7,01601 а. е. м.

Дефект массы реакции равен (2 m _Не- m _Н- m _Li) = - 0,01864 а. е. м.

Подставив значение дефекта массы реакции в (2), получим 

Q = 931 МэВ/а. е. м. (- 0,01864 а. е. м.) = - 17,3 МэВ.

Поскольку Q < 0, энергия в результате реакции поглощается.

Ответ: Q = - 17,3 МэВ, энергия поглощается.

 

Задачи для контроля самостоятельной работы по Разделу № 6

 

6.01. Сколько линий спектра атома водорода попадает в види­мую область (l=0,40—0,76 мкм)? Вычислить длины волн этих линий. Каким цветам они соответствуют?

6.02. Спектральные линии каких длин волн возникнут, если атом водорода перевести из основного в состояние 3 s?

6.03. Найти потенциал ионизации двукратно ионизированного атома лития.

6.04. Вычислить наибольшую и наименьшую длины волн К -серии характеристического рентгеновского излучения от пла­тинового антикатода. Постоянную экранирования принять равной единице.

6.05. Какую наименьшую разность потенциалов нужно прило­жить к рентгеновской трубке с вольфрамовым антикатодом, чтобы в спектре характеристического рентгеновского излучения были все линии К -серии? Постоянную экранирования принять равной единице.

6.06. При переходе электрона в атоме меди с М -слоя на L -слой испускаются лучи с длиной волны 1,2 нм. Вычислить постоянную экранирования в формуле Мозли.

6.07. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в ультрафиолетовой серии водорода (серия Лаймана).

6.08. В однозарядном ионе гелия электрон перешел с третьего энергетического уровня на первый. Определить длину волны излучения, испущенного ионом гелия.

6.09. Определить первый потенциал возбуждения и энергию ионизации атома водорода, находящегося в основном состоянии.

6.10. Определить энергию e фотона, испускаемого атомом водорода при переходе электрона с третьей орбиты на вторую.

6.11. Определить длину волны l де Бройля для частицы массой m = 1 г, движущейся со скоростью v = 10 м/с. Нужно ли учитывать в этом случае волновые свойства частицы?

6.12. Вычислить длину волны l де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией Т = 13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода). Сравнить полученное значение l с диаметром d атома водорода (найти отношение l/d). Нужно ли учитывать волновые свойства электрона при изучении движения электрона в атоме водорода? Диаметр атома водорода принять равным удвоенному значению боровского радиуса.

6.13. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы дебройлевская длина волны l, была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?

6.14. Вычислить длину волны l де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равную: 1) 1 МВ; 2) 1ГВ.

  6.15. Определить длины волн де Бройля a - частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

6.16. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоенному значению его энергии покоя. Вычислить длину волны l де Бройля для такого электрона.

6.17. Полная энергия движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона.

6.18. Чему равна дебройлевская длина волны протона, движущегося со скоростью 0,6 с (с – скорость света в вакууме)?

6.19. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 511кВ.

6.20. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода 13,6 эВ. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона.

6.21. Среднее расстояние электрона от ядра в невозбужденном атоме водорода равно 52,9 пм. Вычислить минимальную неоп­ределенность скорости электрона в атоме.

6.22. Длина волны l излучаемого атомом фотона составляет 0,4 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния Dt = 10^-8 с, определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излучаемой атомом.

6.23. Чему равна минимальная неопределенность координаты покоящегося электрона?

6.24. Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Чему равна при этом минимальная неопределенность координа­ты протона?

6.25. Кинетическая энергия движущегося электрона в два раза больше его энергии покоя. Вычислить минимальную неопределенность координаты электрона.

6.26. Чему равна минимальная неопределенность координаты фотона, соответствующего видимому излучению с длиной волны 0,55 мкм?

6.27. Определить отношение неопределенности скорости к самой скорости электрона, если неопределенность его координаты равна длине волны де Бройля.

6.28. Среднее время жизни возбужденного состояния атома 12 нс. Вычислить минимальную неопределенность длины волны 0,12мкм излучения при переходе атома в основное состояние.

6.29. Естественная ширина спектральной линии l = 0,55мкм,соответствующей переходу атома в основное состояние, равна 0,01 пм. Определить среднее время жизни возбужденного состоя­ния атома.

6.30. Определить неопределенность координаты электрона, если его скорость установлена с точностью D u = 10 ^–10 м/с.

6.31. Вследствие радиоактивного распада  превращается в . Сколько альфа- и бета-превращений он при этом ис­пытывает?

6.32. За какое время распадается 87,5% атомов ?

6.33. Какая доля первоначального количества радиоактивного изотопа распадается за среднее время жизни этого изотопа?

6.34. Сколько атомов радона  распадается за сутки в 1 г этого изотопа?

6.35. Найти период полураспада радиоактивного препарата, если за сутки его активность уменьшается в три раза.

6.36. Вычислить толщину слоя половинного поглощения свинца для гамма-лучей, длина волны которых равна 0,775 нм.

6.37. Чему равна энергия гамма-фотонов, если при прохождении через слой железа толщиной 3 см интенсивность излучения ослабляется в три раза.

6.38. Во сколько раз изменится интенсивность излучения гамма-фотонов с энергией 2 МэВ при прохождении экрана, состоящего из двух плит: свинцовой толщиной 2 см и алюминиевой, толщиной 5 см?

6.39. Рассчитать толщину защитного свинцового слоя, который ослабляет интенсивность излучения гамма-фотонов с энергией 2 МэВ в 5 раз.

6.40. Найти период полураспада Т_1/2 радиоактивного изотопа, если его активность за время t =10 суток уменьшилась на 24% по сравнению с первоначальной.

6.41. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра дейтерия.

6.42. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи альфа-частицы.

6.43. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома бора .

6.44. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома кальция .

6.45. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома урана .

6.46. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра трития.

6.47. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома тория .

6.48. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома радия .

6.49. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома серебра .

6.50. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра атома магния .

6.51. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.52. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.53. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.54. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.55. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.56. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.57. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.58. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.59. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

6.60. Вычислить энергию ядерной реакции . Освобождается или поглощается эта энергия?

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ

Во время экзаменационно-лабораторных сессий проводятся лабораторные занятия. Цели лабораторного практикума – более глубоко овладеть теоретическим материалом, изучить определенные физические явления, убедиться в правильности теоретических выводов, приобрести навыки работы с физическими приборами.

Выполнение лабораторных работ по физике формирует у студентов важные компетенции по навыкам проведения стандартных испытаний согласно инструкциям, оформления отчета, анализа полученных результатов и формулировке вывода по проделанной работе, что является фундаментом для научно-исследовательской деятельности.

В процессе подготовки к выполнению лабораторной работы студент прежде всего овладевает способами постановки цели и выбора путей ее достижения. Для этого надо переписать из методического пособия по лабораторному практикуму в отчет название лабораторной работы и цель работы и проанализировать цель работы по плану:

1) понять, какое физическое явление лежит в основе экспериментальных и теоретических методов предстоящего исследования;

2) определить, какие физические величины характеризуют рассматриваемое физическое явление;

3) выделить основные физические закономерности, которые связывают физические величины, характеризующие физические явление;

4) понять, какую физическую величину предстоит измерить в работе или какую закономерность необходимо доказать.

Далее надо переписать в отчет теоретический минимум.

Оформление теоретического минимума

Для оформления теоретических основ проводимых исследований в методических указаниях предусмотрен раздел «Теоретический минимум», в котором в доступной для восприятия форме представлена необходимая для выполнения работы информация. В процессе изучения раздела необходимо:

1) найти и выписать определение искомой физической величины, значение которой станет численным результатом выполнения работы;

2) найти и записать условия наблюдения физических явлений, лежащих в основе экспериментальных и теоретических методов предстоящего исследования;

3) привести в отчете формулировку физического закона, который предстоит использовать в работе;

4) сделать рисунки, поясняющие формулировки, правила и закономерности.

Проверкой качества восприятия информации послужат ответы на контрольные вопросы, приведенные в конце методических указаний по данной работе.

Оформление методики эксперимента

Для подготовки к экспериментальной части исследований предусмотрен раздел «Методика эксперимента», который поможет студенту применить методы математического анализа и моделирования для достижения цели работы. В процессе изучения раздела необходимо:

1) понять и записать в отчет вывод формульного выражения для получения значения физической величины, являющейся численным результатом работы (итоговое или расчетное выражение), особо отметив элементы моделирования (пренебрежение некоторыми физическими факторами) и сделав необходимые рисунки;

2) привести в отчете принципиальную схему испытаний с пояснениями, как и с какой точностью будут измерены физические величины, входящие в итоговое формульное выражение;

3) записать в отчет таблицу для испытаний и численные значения параметров установки и заданных физических величин, необходимых для начала эксперимента;

4) разобраться, из каких блоков состоит установка и какова роль каждого из них.

В некоторых лабораторных работах используются модульные учебные комплексы, оснащенные современной цифровой измерительной аппаратурой. Это является инновационным подходом в образовательных технологиях. Такой подход позволяет студенту научиться самостоятельно вырабатывать индивидуальные методы организации и проведения эксперимента.

Оформление результатов измерения

Результаты измерения являются важной частью любого научного исследования, поскольку несут основную информацию о проведенных исследованиях и могут быть использованы при решении огромного круга задач, обретение навыков их грамотного анализа является основой всех компетенций будущего профессионала. Поэтому студент внимательно изучает порядок проведения лабораторной работы и в отчете формирует таблицу результатов эксперимента, рекомендованную пособием по лабораторному практикуму, делает обработку результатов измерения и определяет погрешности измерений.

На основании результатов эксперимента необходимо сделать и записать в отчет вывод по проделанной работе, в котором в соответствии с целью работы указывается:

1) какое явление наблюдалось при проведении эксперимента;

2) какая физическая величина и каким методом была измерена;

3) приводится доверительный интервал для искомой физической величины или делается вывод о выполнимости в условиях данной работы исследуемого фундаментального закона;

4) полученный экспериментальный результат сопоставляется с теоретической оценкой или с табличным значением;

5) указывается, ошибки измерения каких величин внесли основной вклад в погрешность измерения искомой физической величины.

Рекомендуем внимательно ознакомиться с образцом оформления лабораторной работы.

Образец оформления лабораторной работы