Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Определим момент инерции фигуры относительно какой-либо оси

Пусть  - центральная ось и момент инерции  известен.

Следовательно,

 

Первый интеграл дает площадь сечения. Второй интеграл, представляющий статический момент относительно центральной оси , равен нулю. Третий интеграл – это момент инерции  фигуры относительно оси .

Таким образом,

                                           (10)

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (10) видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси, параллельной первой.

Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

32. Понятие о главных и центральных осях. Момент инерции простых геометрических фигур и прокатных профилей.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции.

Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно этой оси — главным центральным моментом инерции.

Особо важным является то обстоятельство, что если фигура имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей.                                            

Главными осями инерции сечения –наз. Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, а осевые моменты инерции экстремальные значения.Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, наз. его главными центральными осями.

К числу простых плоских фигур относятся три фигуры: прямоугольник, треугольник и круг. Простыми эти фигуры считаются потому, что положение центра тяжести этих фигур заранее известно. Все остальные фигуры могут быть составлены из этих простых фигур и считаются сложными. Вычислим осевые моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей.

1. Прямоугольник. Рассмотрим сечение прямоугольного профиля размерами (Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными сечениями на расстоянии от центральной оси .

Рис.4.6

Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси:

. (4.10)

Момент инерции прямоугольного сечения относительно оси найдем аналогично. Здесь вывод не приводится.

. (4.11)

Центробежный момент инерции относительно осей и равен нулю, так как оси и являются осями симметрии, а, следовательно, главными осями.

2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим сечение треугольного профиля размерами (Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными сечениями на расстоянии от центральной оси . Центр тяжести треугольника находится на расстояни от основания. Треугольник принимается равнобедренным, так что ось сечения является осью симметрии.

Рис.4.7

Вычислим момент инерции сечения относительно оси :

. (4.12)

Величину определим из подобия треугольников:

; откуда .

Подставляя выражения для в (4.12) и интегрируя, получим:

. (4.13)

Момент инерции для равнобедренного треугольника относительно оси находится аналогичным образом и равен:

(4.14)

Центробежный момент инерции относительно осей и равен нулю, так как ось является осью симметрии сечения.

3. Круг. Рассмотрим сечение круглого профиля диаметром (Рис.4.8). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными концентрическими окружностями, расположенными на расстоянии от центра тяжести круга .

Рис.4.8

Вычислим полярный момент инерции круга, воспользовавшись выражением (4.5):

. (4.15)

Используя условие инвариантности для суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей (4.6) и учитывая, что для круга в силу симметрии , определяем величину осевых моментов инерции:

. (4.16)

Откуда:

. (4.17)

+Центробежный момент инерции относительно осей и равен нулю, так как оси и являются осями симметрии сечения.