Свойства главного вектора и главного момента

1 Модуль и направление F_гл не зависят от выбора центра приведения.

2 Величина и знак М_гл зависят от выбора центра приведения.

3 Главный вектор F_гл и равнодействующая F_∑ системы сил векторно равны, но не эквивалентны.

Частные случаи

1) F_гл = 0, М_гл 0

Если главный вектор данной плоской системы сил равен нулю, а ее главный момент не равен нулю, то эта система эквивалентна паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно любой точки плоскости.

2) F_гл 0, М_гл = 0

Если главный вектор данной плоской системы сил не равен нулю, а главный момент равен нулю, то эта система приводится к равнодействующей, равной по модулю и направлению главному вектору F_гл.

20 Различные случаи приведения ПСПРС

1. F_гл ≠ 0, М_гл ≠ 0. В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, которая равна по модулю главному вектору, параллельна ему и направлена в ту же сторону, но по другой линии действия.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от выбора центра приведения, также как модуль и направление главного вектора тоже не зависят от расположения центра приведения на плоскости действия системы сил.

2. F_гл ≠ 0, М_гл = 0. В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения и совпадает с главным вектором.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от расположения центра приведения на линии действия равнодействующей системы сил, и в любой точке этой линии М_гл = 0.

3. F_гл = 0, М_гл ≠ 0. В этом случае система эквивалентна паре сил, т. е. она обладает лишь вращающим действием.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от центра приведения, ибо уравновешенная система сил не может быть эквивалентна разным парам.

4. Fгл = 0, Мгл = 0. В этом случае система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии.

31 Моменты инерции сечения (lx ly lp) Зависимость между ними

Момент инерции – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты расстояний от них до этой оси. Осевые моменты инерции где ρ – расстояние от площадки dA до точки (полюса), относительно которого вычисляется полярный момент инерции. Полярный момент инерции связан с осевыми моментами инерции то есть для любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс Центробежный момент инерции определяется интегралом произведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может принимать значения «+», «–» и ноль. Если фигура имеет ось симметрии, то относительно этой оси центробежный момент инерции равен нулю

Осевым моментом инерции сечения относительно оси x называется сумма произведений элементарных площадок  на квадрат их расстояний до данной оси, численно равная интегралу

                                                                 (6)

Аналогично относительно оси у

                                                             

где  — расстояние от элементарной площадки  до оси ,

 — расстояние от элементарной площадки  до оси .

Полярным моментом инерции сечения относительно данной точки (полюса) называется сумма произведений элементарных площадок  на квадрат их расстояний до этой точки, определяемая интегралом вида

                                                 ,                          (7)

 

где ρ – расстояние от площадки  до точки (полюса), относительно которой вычисляется полярный момент инерции.

Осевой и полярный моменты инерции – величины всегда положительные, так как в формулы (6) и (7) координаты произвольной площадки входят в квадрате.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей  и  называется сумма произведений элементарных площадок  на их расстояния до этих осей, определяемая интегралом вида

                                      ,                         (8)

где  – расстояния от площадки  до осей  и .

Размерность всех моментов инерции – единица длины в четвертой степени (обычно ).

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

Если взаимно перпендикулярные оси  и  или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади, которые имеют одинаковые координаты  и равные, но противоположные по знаку, абсциссы, тогда:

Легко доказать, что полярный момент инерции относительно какой–либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

. Подставив это значение в выражение (7), получим

 

 

Следовательно,

                              .