Основные положения и расчетные формулы при изгибе

1. Изгибающий момент в сечении:

          

2. Поперечная сила в сечении:

        

3. Правило знаков:

- Поперечных сил +, если Fсовпадает с направлением оси У

                    

- Изгибающих моментов

            

4. Правила построения эпюр поперечных сил:

1) На участке, нагруженном равномерно распределительной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклонной к оси балки.

2) На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки.

3) В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения.

4) В сечении, где приложенная сила, эпюра поперечных сил меняется на значение, равное приложенной силе.

5) В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе, приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.

6. Правила построения эпюр изгибающих моментов:

1) На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается параболой.

2) На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией.

3) В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил (момент), изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары.

4) Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если в нем не приложена сосредоточенная пара сил (момент). Если же в концевом сечении приложен момент, то изгибающий момент в этом сечении равен внешнему моменту.

5) На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки.

Для построения эпюр проводят нулевую линию под изображением балки. При построении эпюры поперечных сил положительные значения откладывают вверх от нулевой линии, а отрицательные – вниз. При построении эпюры изгибающих моментов положительные значения откладываются вниз от нулевой линии, а отрицательные – вверх.

6.Условие прочности

         

7. Моменты сопротивления:

- для круга

       

- для кольца

         ,

где

- для прямоугольника

              ,

- для квадрата

             

Пример решения задач 1.

Для консольной балки (рис.8.1) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Проверить выполнения условия прочности при изгибе. Размеры сечения даны в мм.

Рис. 8.1. Схема решения задачи.

Решение

1. Определяем поперечную силу на каждом участке.

кН

кН.

2. По найденным значениям строим эпюру поперечных сил (Q).

3. Определяем изгибающий момент в каждой точке приложения внешних сил.

М_ИА = 0

кНм

кНм

4. По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (М_И).

5. Проверяем выполнения условия прочности при изгибе:

     ,

так как сечение прямоугольное, то момент сопротивления определяем по формуле:

мм.

МПа < 160 МПа.

Условие прочности выполняется.

 

Пример решения задач 2.

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью q = 20 кН/м и сосредоточенным моментом M = 50 кН·м (рис. 8.2), требуется: построить эпюры перерезывающих сил Q_y и изгибающих моментов Mτ, подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении [ σ] = 16 кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении [ τ] = 8 кН/см2. Размеры балки a₁ = 1 м, a₂ = 2 м, l = 4 м.