Основные формулы и предпосылки расчета.

 Порядок расчета центра тяжести плоской фигуры:

- заданную плоскую фигуру разбиваем на составные части, центры тяжести которых легко определяются - прямоугольник, треугольник, круг…;

 - располагаем координатные оси вдоль сторон фигуры;

 - находим площади каждой части фигуры S_i и координаты X_i, Y_i их центров тяжести С_i.;

- данные заносим в таблицу результатов 1;

- вычисляем координаты X_C и Y_C центра тяжести плоской фигуры

Координаты центров тяжести сложных и составных сечений.

;                     ;

где S_i– площади частей сечения;

Х_i, У_i – координаты центра тяжести частей сечений;

S – суммарная площадь сечения; .

При решении задач можно использовать метод отрицательных площадей. Здесь площадь вырезанной плоской фигуры берется со знаком минус, т.е. считается отрицательной.

Таблица 3.1. Результаты расчетов.

N	Площадь фигур, Si	Координаты центра
		xi	yi
1
2
	C	xc	yc

 

 

Таблица 3.2. Координаты центров фигур.

Пример решения задач

Определить положение центра тяжести в сечении, состоящего из простых геометрических фигур.

рис.3.1

Решение

1. Разбиваем сечение на три части (рис.3.1):

1 – прямоугольник;

2 – трапеция;

3 – прямоугольник.

2. Отмечаем центры тяжести каждой отдельной части. Проводим оси координат.

3.Определяем координаты центра тяжести сечения С (х_С, у_С). составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата х_С = 0, то есть С (0, у_С).

- вычисляем площадь отдельных фигур

 м².

 м².

м².

- определяем координаты центров тяжести отдельных фигур:

м.

м.

м.

м.

Данные можно занести в таблицу.

№	Si, м^2	xi, м	yi, м
1	14	0	7
2	10	0	5,13
3	12	0	2
	C	0	4,81

Таблица 3.3. Схемы задач.

 

ЗАДАНИЯ 4 и 5. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА

Таблица 4.1. Основные формулы кинематики

Кинематические характеристики и характер движения		Прямолинейное движение	Вращательное движение
Уравнение движения	Общая формула	S = f(t)	j=f(t), (1 рад= 180^о/p=57,3^о)
	Равномерное движение	S=S0+V×t	j = j0  + ω0t
	Равномерно-переменное движение	, S = V^2 – Vo^2      2a	, j0=0
Скорость	Общая формула (первая производная)
	Равномерное движение	V = S / t	ω = φ/t, ω = πn/30
	Равномерно-переменное движение	V = Vo ± aτt	ω = ω ± ɛt
			линейная скорость V = 2 πR      T
	Размерность	длина/время (м/с)	Угол/время (рад/с)
Ускорение	Общая формула   (первая производная от скорости, вторая от перемещения)
	Равномерно-переменное движение	a = V – V0  t	ɛ = ω – ω0      t
	Криволинейное движение (Плоское)	an = V^2/R	,  а^ц=w^2×R
	Размерность	длина/время^2  (м/с^2)	Угол/время^2  (рад/с^2)

 

Таблица 4.2. Формулы динамики

№	Величина (закон)	Формулы
1	Второй закон Ньютона
2	Восстанавливающая сила (сила упругости)	Fx= – kx
3	Сила трения скольжения	Fтр= – fN
4	Сила тяжести	F = mg
5	Центробежная сила	F = mV^2/R
6	Количество движения (импульс тела)
7	Импульс силы
8	Закон сохранения импульса	m1*V1 + m2*V2 = m1*V1^! + m2*V2^!
9	Работа	А = F×s×cosa
10	Мощность	Р=A/t
11	Кинетическая энергия поступательного движения
12	Кинетическая энергия вращательного движения	Квр=
13	Потенциальная энергия поля силы тяжести	П = mgh
14	Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин:
15	Коэффициент полезного действия
16	Вращающий момент	М= Р/ ɷ

 

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону S = t⁴ + 2t, (S – в метрах, t – в секундах). Найти ее среднее ускорение в промежутке между моментами t₁ = 2 с, t₂ = 4 с, а также истинное ускорение в момент t₃ = 3 с.

Решение:

Определить скорость точки (производная от перемещения)

V = dS/dt = 4t³ + 2.

Подставив вместо t его значения t₁ = 2 с, t₂ = 4 с, найдем

V₁ = 4*2³ + 2 = 34 м/с,

V₂ = 4*4³ + 2 = 258 м/с.

Следовательно, прирост скорости за данный промежуток времени

∆t = t₂ – t₁ = 4 – 2 = 2 c.

∆V = V₂ – V₁ = 258 – 34 = 224 м/с.

Среднее ускорение точки

а_ср = ∆V/∆t = 224/2 = 112 м/с².

Для определения ускорения точки в любой момент возьмем производную от скорости по времени

а = dV/dt = 12t².

Подставим в это уравнение вместо t его значение t₃ = 3 с.

а = 12*3² = 108 м/с².

Ответ: а_ср = 112 м/с², а = 108 м/с².

Пример 2. Маховик диаметром 0,8 м начинает вращаться из состояния покоя. Через 10 с после начала движения скорость точек обода маховика достигает 8 м/с. Определить ускорение этих точек. Чему равно число оборотов маховика за первые 10 с после начала равнопеременного вращения?

Решение:

По значению скорости точки находим угловую скорость вращения маховика через 10 с после начала вращения:

ɷ = V/r = 8/0,4 = 20 рад/с.

Угол поворота маховика за 10 с

φ = (ɷ + ɷ ₀)*t/2 = (20 + 0)*10/2 = 100 рад.

Число оборотов маховика за 10 с

N_об = φ/2π = 100/2*3,14 = 16.

Угловое ускорение маховика

ε = ɷ/t = 20/10 = 2 рад/с.

Нормальное ускорение точек обода маховика в момент t = 10 с.

а_n = ɷ²*r = 20²*0,4 = 160 м/с².

Касательное ускорение точек обода маховика

а_τ = ε* r = 2*0,4 = 0,8 м/с².

Ответ: N_об = 16, ε = 2 рад/с, а_n = 160 м/с², а_τ = 0,8 м/с².

Пример 3. Для остановки поезда, движущегося по прямолинейному участку пути со скоростью V = 10 м/с, производится торможение. Через сколько секунд остановится поезд, если при торможении развивается постоянная сила сопротивления, равная 0,02 силы тяжести поезда. Какой путь пройдет поезд до остановки?

Решение:

Поезд совершает поступательное движение. Рассматривая его как материальную точку М (рис.), движущуюся в направлении оси Ох, укажем действующие силы: G – сила тяжести поезда, R - нормальная реакция рельсов, F - сила сопротивления, направленная противоположно вектору скорости. Силы G, R уравновешиваются согласно аксиоме действия и противодействия.

Рис. 4.1. Схема задачи.

По теореме об изменении количества движения материальной точки в проекциях на ось Ох

m*V – m*V₀ = - F*∆t,

Так как F = 0,02* G = 0,02*m*g, t₀ =0, V₀ = 10 м/с, V = 0, получим

- m*V₀ = - 0,02 m*g*∆t.

Откуда

∆t = V₀/0,02*g = 10/0,02*9,8 = 51 с.

Для определения пройденного пути поездом до его остановки воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии

m*V²/2 - m*V₀²/2 = F*S*cosα.

 Работа силы торможения отрицательна (α = 180⁰) и cosα = -1, поэтому

- m*V₀²/2 = - 0,02* m*g*S,

Путь, пройденный поездом

S = V₀²/(2*0,02*g) = 10²/(2*0,02*9,8) = 225 м.

Ответ: S = 225 м.

Таблица 3.3. Задания для решения.

Вариант	Задачи
1, 11, 21	1, 11
2, 12, 22	2, 12
3, 13, 23	3, 13
4, 14, 24	4, 14
5, 15, 25	5,15
6,16, 26	6,16
7,17, 27	7,17
8,18, 28	8,18
9,19, 29	9, 19
10, 20, 30	10, 20

1. По дуге радиусом r = 1200 м движется поезд, его скорость в начале движения по дуге составляет V₀=60 км/ч (16,7 м/с). После того, как поезд прошел расстояние 800 м, его скорость уменьшилась до 36 км/ч (10 м/с). Определить полное ускорение в начале и конце движения.

2. Прямолинейное движение точки описывается уравнением S = 20 + 5t + 2t². Определить расстояние от начала отсчета через 10 секунд, начальную, конечную скорость и ускорение точки.

3. Определить радиус кривизны выпуклого моста в верхней точке, если сила давления автомобиля при его движении по мосту с постоянной скоростью 72 км/ч составляет 10 кН. Масса автомобиля 1200 кг.

4. Тело массой 5 кг падает с высоты 80 м. Определить время падения t и скорость v в момент достижения Земли, работу силы тяжести..

5. Тело под действием горизонтальной силы F = 80 H движется прямолинейно по горизонтальной гладкой поверхности (без трения). Уравнение движения имеет вид: S = 4t + 2t², где S – в метрах, t – в секундах. Определить массу этого тела, пройденное расстояние за 10 с.

6. Тело массой 2 кг брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Определить высоту и время подъема тела, изменение количества движения.

7. При отходе от станции поезд через 5 мин набрал скорость 72 км/ч. Определить ускорение, пройденный путь за это время, работу, выполненную поездом, если его масса 500 т.

8. Вагонетка с грузом массой 500 кг начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно по горизонтальному пути и через 10 с достигает скорости v₁ = 2 м/с. Определить силу, движущую вагонетку, если сопротивление движению составляет 0,02 веса вагонетки.

9. Автомобиль массой 1800 кг движется по выпуклому мосту с постоянной скоростью 72 км/ч. Определить максимальную силу давления на мост, если радиус кривизны его 180 м.

10. Найти величину угловой скорости ω и величину линейной скорости v искусственного спутника Земли, если известно, что он вращается по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин, и его орбита расположена на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли.

11. Шкив диаметром D = 500 мм передает мощность Р =8 кВт при частоте вращения n = 600 мин^-1. Определить вращающий момент M и окружную силу F.

12. Ручной подъемный механизм имеет рукоятку длиной L = 500 мм. Рабочий, прикладывая к ее концу силу F = 200 Н, вращает ее с угловой скоростью ɷ = 20 рад/с. Определить работу, затрачиваемую рабочим в течение t = 5 мин.

13.  Сколько времени должна действовать сила F = 500 Н, приложенная к покоящемуся телу массой m = 200 кг, если она сообщит телу скорость V = 25 м/с. Какой путь пройдет тело под действием этой силы, если оно перемещается по гладкой горизонтальной поверхности.

14.  Какую силу нужно приложить к автомобилю массой m = 1500 кг, движущемуся по прямолинейному горизонтальному пути со скоростью 72 км/ч, для того, чтобы за время t = 10 с, его скорость уменьшилась до 36 км/ч? Какой путь продет при этом автомобиль?

15.  C какой максимальной скоростью может вращаться в вертикальной плоскости тело массой m = 2 кг, привязанное к нити длиной L = 1 м, если нить выдерживает максимальное натяжение 400 Н. Массой нити пренебречь.

16.  Найти величину линейной скорости v и ускорение а точек земной поверхности на широте С-Петербурга (город находится на широте φ = 60⁰). Радиус земли R = 6000 км.

17.  Диск, вращаясь равнозамедленно, за время t₁ = 60 с уменьшил частоту своего вращения с n₀ = 500 мин⁻¹ до n₁ = 0 мин⁻¹. Найти величину ε углового ускорения диска и число оборотов N диска за это время.

18. Автомобиль, имея скорость, равную по величине v₀ = 36 км/ч, за время t₁ = 20 с увеличил ее до значения v₁ = 72 км/ч. Определить величину ускорения и путь, пройденный автомобилем за это время, считая движение равноускоренным.

19. Первый шар массой m₁ = 2 кг движется со скоростью v₁ = 3 м/с. Второй шар массой m₂ = 8 кг движется со скоростью v₂ = 1 м/с. Найти скорость u₁ первого шара и скорость u₂ второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.

20. Человек массой m₁ = 60 кг, бегущий со скоростью v₁ = 9 м/с, вскакивает на тележку массой m₂ = 70 кг, движущуюся со скоростью v₂ = 1,8 м/с. С какой скоростью u будет двигаться тележка, если: а) человек догонял тележку; б) человек бежал ей навстречу?

 

ЗАДАНИЕ 6. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ.

  Для ступенчатого стального бруса требуется:

- определить значение продольной силы и нормального напряжения по длине бруса;

- построить эпюры N и s;

- определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса.

Модуль продольной упругости  МПа.

Необходимые формулы

1. Продольная сила

  ,

2. Правило знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию.

        

3. Нормальное напряжение

        ,

где N - продольная сила; А (F, S) – площадь поперечного сечения.

4. Удлинение (укорочение) бруса

             или ,

где Е – модуль упругости материала;         l – начальная длина стержня.

Последовательность решения задач:

1. Разбиваем брус на участки, начинают свободного конца. Границами участков являются: начало и конец бруса, границы сечений, точки приложения сил.

2. Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка и построить эпюру продольных сил N. Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения. Штриховку каждого участка производить четкими перпендикулярными линиями относительно нулевой линии.

3. Для построения эпюр нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянны, то есть эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

4. Перемещение свободного конца бруса определяется как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука.

Пример решения задач на растяжение и сжатие.

Условие задачи:

Стальной стержень (модуль Юнга Е = 2*10⁴ кН/см²) с размерами а = 1 м; b= 1,5 м, c = 2 м и площадью поперечного сечения нижнего участка Fн = F = 10 см², а верхнего Fв = 2F = 20 см² нагружен внешними осевыми силами Р₁ = 100 кН и Р₂ = 300 кН (рис. 6.1). Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ. Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) σ_т = 24 кН/см², а допускаемый коэффициент запаса [n] = 1,5. Найти удлинение стержня ∆l.

1. Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке

Учитывая, что P₂ > P₁, направим опорную реакцию R вниз. Тогда из уравнения равновесия ∑Z = 0 находим:

 -R + P₂ – P₁ = 0; R = P₂ – P₁ =300 – 100 = 200 кН.

 

Рис. 6.1. Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие.