Векторные характеристики движения материальной точки

Положение точки в пространстве можно задать с помощью вектора, соединяющего начало координат с данной точкой. Такой вектор называется радиус-вектором точки − мы будем обозначать его символом

Очевидно, что координаты этого вектора совпадают с координатами точки (x, y, z), поэтому мы оставим эти обозначения и для координат радиус-вектора.

Если тело изменяет свое положение в пространстве, то его
радиус-вектор будет изменяться с течением времени, то есть станет функцией времени. Зависимость радиус-вектора от времени r(t) будет являться законом движения.

Изменение положения в векторной форме удобно описывать с помощью вектора перемещения S − вектора, соединяющего начальное r_o и конечное положение r, движущейся точки. Вектор перемещения равен разности радиус-векторов конечного и начального положения (рис. 64):

 

 

рис. 64

 

 

Компоненты вектора перемещения равны изменению соответствующих координат материальной точки. Отношение изменения радиус-вектора к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним вектором скорости (или просто средней скоростью):

 

Если промежуток времени, за который измеряется изменение радиус-вектора, сделать очень малым (предельно малым), то вектор средней скорости перейдет в вектор мгновенной скорости¹:

 

 

Это определение является наиболее общим определением скорости. Заметим, что при постоянном векторе скорости тела его траекторией обязательно является прямая линия.

Выясним, как направлен вектор мгновенной скорости по отношению к произвольной траектории движения материальной точки. Пусть тело (которое мы считаем материальной точкой) переместилось за промежуток времени Δt по некоторой траектории из точки А_o в точку А₁ (рис. 65).

 

рис. 65

Вектор средней скорости совпадает по направлению с вектором перемещения S. При уменьшении рассматриваемого промежутка времени Δt точка А₁ будет находиться все ближе к точке А_o. Соответственно будет изменяться и вектор перемещения: при Δt → 0 вектор перемещения будет стремиться по касательной к траектории, поэтому вектор мгновенной скорости направлен вдоль касательной к траектории.

Дадим определение вектора ускорения.

Вектором ускорения а называется отношение изменения вектора скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при стремлении этого промежутка к нулю:

Подчеркнем, что в данном определении ускорения фигурирует изменение вектора скорости − а вектор может изменяться как по величине, так и по направлению. Следовательно, непрямолинейное (криволинейное) движение тела обязательно является движением с ускорением (так как изменяется направление вектора скорости).

¹Вот это уже последнее, самое общее определение скорости − вектор мгновенной скорости. Так, при движении тела вдоль одной оси проекция этого вектора совпадает с введенной ранее мгновенной скоростью, модуль этого вектора равен путевой скорости.