Координатное представление векторов

Изображение векторов в виде «стрелок» наглядно, однако проводить несколько операций над векторами геометрическим способом не всегда удобно. Поэтому рассмотрим еще один способ описания векторов и действий над ними.

Введем декартовую систему координат XYZ, в которой построим вектор А так, чтобы его начало совпадало с началом координат. Тогда координатами вектора (мы будем обозначать их А_x, А_y, А_z) называются координаты его конца. Координаты вектора также называют его компонентами (рис. 62).

 

 

рис. 62

 

Легко показать, что определенные ранее операции умножения вектора на число сложения и вычитания векторов сводятся к соответствующим операциям над компонентами. Так, использование координатного представления вектора и теорему Пифагора можно записать выражением для модуля (длины вектора)

 

 

Покажем, например, правило сложения векторов. Для наглядности рассматриваем векторы, лежащие в одной плоскости, хотя соответствующие правила распространяются на векторы в трехмерном пространстве. Из рис. 63

 

 

рис. 63

 

и определения координат вектора непосредственно следует, что операция

 

 

в координатной форме имеет вид

 

 

Аналогично можно доказать и другие правила действий над векторами. Несколько сложнее получить выражение для скалярного произведения через компоненты векторов, поэтому мы приведем окончательную формулу без доказательства:

 

 

Без труда можно показать, что для введенных операций справедливы переместительный и сочетательный законы:

 

Таким образом, мы имеем прекрасный математический аппарат для компактной записи однотипных соотношений для координат векторов. Кроме того, правила действия над векторами совпадают с привычными правилами арифметики чисел.

Векторная запись имеет еще одно существенное достоинство. Проводя действия над векторами, мы можем не задумываться над системой отсчета, иными словами, они справедливы в любой системе отсчета! Правда, для того чтобы перейти к численным расчетам, необходимо, конечно, ввести систему отсчета, но это можно сделать только на последнем этапе, когда основные соотношения получены в векторной форме. Заметим, что о векторе можно говорить как о тройке чисел (компоненты вектора). Однако не любая тройка чисел является вектором — компоненты вектора подчиняются определенным законам преобразований (например, при переходе в другую систему координат). В каких же случаях можно пользоваться векторным исчислением? Ответ на этот вопрос должна давать физика (а не математика). Подчиняются ли рассматриваемые физические величины тем же правилам, что и векторы?

Кстати, любое использование математического аппарата требует физического обоснования. Яркий пример: всегда ли в физике 1 + 1 = 2? Попробуйте смешать 1 литр воды и 1 литр этилового спирта − суммарный объем смеси окажется меньше двух литров! Причиной этого является перестройка взаимного расположения молекул в растворе. Но как это объяснить математикам?