Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.

Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Плоскопараллельное движение твердого тела.

2. Уравнения плоскопараллельного движения.

3. Разложение движения на поступательное и вращательное.

4. Определение скоростей точек плоской фигуры.

5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

7. Решение задач на определение скорости.

8. План скоростей.

9. Определение ускорений точек плоской фигуры.

10. Решение задач на ускорения.

11. Мгновенный центр ускорений.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

 

 

Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.

Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

 

             

Рис.28                                                      Рис.29

 

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости О xy, параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движе­нии все точки тела, лежащие на прямой ММ ’, перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос­таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху.

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x _A и y _A точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины x _A и y _A и  будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твер­дого тела.

Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движе­ние, которое фигура совершала бы при  и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фи­гуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из по­ступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматривае­мого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость  и угловое ускорение  враща­тельного движения вокруг полюса.

 

Рис.30                                             Рис.31

Рис.32

 

Один из таких методов дает тео­рема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.32), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор  перпендику­лярен АВ, находим

и теорема доказана.

                       

Рис.33

Если теперь в момент времени  взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

,

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Из равенств, следует еще, что

  точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей  и  каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к  и , построим мгно­венный центр скоростей Р и по направлению   определим направ­ление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость  любой точки М плоской фигуры. Направлен век­тор  перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость  плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.34), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна  (рис.35,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость  тела в этот момент времени, как видно равна нулю.

 

          

Рис.34

 

    

Рис.35

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 35,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .

г) Если известны вектор скорости  какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к  (рис.35,б), можно найти как .

 

Рис.36

 

Определим скорости точек А,В  и С.

Мгновенный центр скоростей нахо­дится в точке касания катушки с плоско­стью.

Скорость полюса С    .

Рис. 9.23. .

Угловая скорость катушки

Скорости точек А и В направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:

                                                                             

Пример 9. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле  скорость . Длина стержня AB= l. Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.

Рис.37

 

Нетрудно определить направление век­тора скорости точки А, скользящей по вер­тикальной прямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляров к  и  (рис. 37).

Угловая скорость  

Скорость точки А:  

Рис. 9.24. .

А ско­рость центра стержня С, например, направлена перпендикулярно и равна:

.

 

План скоростей.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.38). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. (На рисунке  ).

Рис.38

 

Свойства плана скоростей.

Рис. 9.26.

а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендику­лярны соответствующим прямым на плоскости тела.

Действительно, . Но на плане скоростей . Значит  причём перпендикулярна АВ, по­этому и . Точно так же и .

б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим от­резкам прямых на плоскости тела.

Так как , то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость  звена ОА.

Рис.39

 

Чтобы построить план ско­ростей должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В на­шем примере можно определить скорость точки А:  и направление её вектора .

Рис.40

 

Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе  Известно направление вектора скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно АВ  до пересечения с прямой I. Точка пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В: . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить а b пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости  (если с соединить с точкой О).

Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает с точкой О.

Далее. Должно быть и . Проводим эти прямые, находим их точку пересечения d. Отрезок о d определит вектор скорости .

Рис.41                                            Рис.42

 

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­рия известна, то можно заменить суммой .

 

Рис.43

 

Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей:

Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея в виду, что , а точка С движется по прямой, получим                  

Если С – полюс, то , где

.

Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси х и у:

Рис. 9.30.

Тогда .

Ускорение мгновенного центра скоростей ,

 где . 

И, так как , ускорение и .

Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю.

Пример 12. Вернёмся к примеру 9 (рис. 44). 

Рис.44

 

Найдём ускорение точки А, полагая  т.е.

Имеем:

,         (1)

Где , но направление вектора  неизвестно, неизвестно и угловое ускорение .   

Предположим, что вектор  направлен перпендикулярно АВ, влево.

Ускорение , конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси х и у, получим:

и .

Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А

Положительное значение  указывает на то, что направление вектора  выбрано правильно.

Из первого уравнения можно найти ускорение  и угловое ускорение  (направления  и  также угаданы верно).

 

Мгновенный центр ускорений.

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение  какой-нибудь точки А фигуры и величины  и , следующим путем:

1) находим значение угла , из формулы ;                

2) от точки А под углом , к вектору проводим прямую АЕ (рис.45);

при этом прямая АЕ должна быть отклонена от  в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения ;

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный                 

Рис.45

 

Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что

,

где численно . Подставляя сюда значение AQ  находим, что . Кроме того, вектор  должен образовывать с ли­нией AQ угол , следовательно, вектор  параллелен , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому  и .             

Если точку Q выбрать за полюс, то так как , ускорение любой точки М тела, будет

При этом численно

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна (), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р (), но при этом, как было показано ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

                                       

Рис.46                                                         Рис.47

 

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.

 

Вопросы для самопроверки

- Какое движение твердого тела называется плоским? Приведите примеры звеньев механизмов, совершающих плоское движение.

- Из каких простых движений складывается плоское движение твердого тела?

- Как определяется скорость произвольной точки тела при плоском движении?

- Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным?

- Какими уравнениями задается плоскопараллельное движение?

- Как по уравнениям движения плоской фигуры найти скорость полюса и угловую скорость вращения вокруг полюса?

- Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

- Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры.

- Какие способы применяют для определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении?

- Что такое мгновенный центр скоростей? Как определяется величина и направление скорости произвольной точки тела при известном положении мгновенного центра скоростей и угловой скорости?

- Из каких составляющих складывается ускорение точки при плоском движении?

- Запишите формулы для вычисления касательной и нормальной составляющих относительного ускорения точки при плоском движении тела.

- Приведите определение мгновенного центра ускорений.

- При плоском движении тела в некоторый момент времени оказалось, что его точки А и В отстоят от мгновенного центра ускорений на расстояниях 5 и 10 см. Чему равен модуль ускорения точки В, если модуль ускорения точки А равен 3 м/с²? 

- Зависят ли поступательное перемещение плоской фигуры и ее поворот от выбора полюса?

- Как определяется скорость любой точки плоской фигуры?

- Покажите, что проекции скоростей точек неизменяемого отрезка на ось, совпадающую с этим отрезком, равны между собой.

- Что представляет собой отрезок, соединяющий две вершины плана скоростей?

- Какие минимальные данные необходимы для построения плана скоростей?

- Какую точку плоской фигуры называют называют мгновенным центром скоростей и каковы основные случаи определения его положения?

- Что представляет собой распределение скоростей точек плоской фигуры в данный момент?

- Как построить центр поворота плоской фигуры, зная ее начальное и конечное положения?

- Что представляет собой неподвижная и подвижная центроиды и что происходит с центроидами при действительном движении плоской фигуры?

- Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры?

- Сформулируйте теорему об ускорениях точек плоской фигуры.

- Почему проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проходящую через эту точку из полюса, не может быть больше проекции ускорения полюса на эту ось?

- Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром ускорений и может ли мгновенный центр ускорений совпадать с мгновенным центром скоростей?

- Перечислите известные вам способы определения положения мгновенного центра ускорений?

- Что представляет собой картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени в трех случаях

а) ;

б) ;

в) .

- Как производят определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев плоского механизма?  

 

Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Плоскопараллельное движение твердого тела.

2. Уравнения плоскопараллельного движения.

3. Разложение движения на поступательное и вращательное.

4. Определение скоростей точек плоской фигуры.

5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

7. Решение задач на определение скорости.

8. План скоростей.

9. Определение ускорений точек плоской фигуры.

10. Решение задач на ускорения.

11. Мгновенный центр ускорений.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».