Решение задач на определение скорости.

Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачи и следует начинать решение.

Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость.

Пример 8. Тело, имеющее форму ка­тушки, катится своим средним цилиндром по неподвиж­ной плоскости так, что  (см). Радиусы цилин­дров: R = 4 см и r = 2 см (рис.36)..

Рис.36

 

Определим скорости точек А,В  и С.

Мгновенный центр скоростей нахо­дится в точке касания катушки с плоско­стью.

Скорость полюса С    .

Рис. 9.23. .

Угловая скорость катушки

Скорости точек А и В направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:

                                                                             

Пример 9. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле  скорость . Длина стержня AB= l. Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.

Рис.37

 

Нетрудно определить направление век­тора скорости точки А, скользящей по вер­тикальной прямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляров к  и  (рис. 37).

Угловая скорость  

Скорость точки А:  

Рис. 9.24. .

А ско­рость центра стержня С, например, направлена перпендикулярно и равна:

.

 

План скоростей.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.38). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. (На рисунке  ).

Рис.38

 

Свойства плана скоростей.

Рис. 9.26.

а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендику­лярны соответствующим прямым на плоскости тела.

Действительно, . Но на плане скоростей . Значит  причём перпендикулярна АВ, по­этому и . Точно так же и .

б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим от­резкам прямых на плоскости тела.

Так как , то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость  звена ОА.

Рис.39

 

Чтобы построить план ско­ростей должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В на­шем примере можно определить скорость точки А:  и направление её вектора .

Рис.40

 

Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе  Известно направление вектора скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно АВ  до пересечения с прямой I. Точка пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В: . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить а b пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости  (если с соединить с точкой О).

Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает с точкой О.

Далее. Должно быть и . Проводим эти прямые, находим их точку пересечения d. Отрезок о d определит вектор скорости .