Многомерный нормальный закон

      Пусть a = (a ₁, a ₂,…, a_k) ^T – известный k -мерный вектор, Σ = [σ _{i j} ] – известная матрица размерности k × k, обладающая следующими свойствами:

1. Σ – симметричная матрица: σ _{i j} = σ _{j i}, i ≠ j;
2. Σ является положительно-определенной матрицей, Σ >0 (все ее собственные числа положительны).

Известно, что любая матрица, обладающая такими свойствами, может выступать в качестве ковариационной матрицы некоторого невырожденного k -мерного случайного вектора. В частности, если для двух величин (k =2) заданы их дисперсии σ₁², σ₂² и коэффициент корреляции ρ, -1≤ρ≤1, то их ковариационную матрицу всегда можно записать в виде

                                                           (3.1)

При k >2 набор коэффициентов корреляции может оказаться противоречивым, поэтому матрицу, построенную по аналогии с (3.1), нужно отдельно проверять на положительную определенность.

  Пусть теперь k -мерный случайный вектор X = [ ξ₁,…, ξ _k ] ^T подчиняется непрерывному закону распределения с плотностью f (x), где x = [ x ₁,…, x_k ] ^T, вида                                                                 

                                            (3.2)

В этом случае говорят, что вектор X подчиняется k -мерному нормальному закону с параметрами a, Σ:  или что X является гауссовым случайным вектором. Легко проверить, что при k =1, когда матрица содержит единственный элемент σ₁₁= σ²>0, формула (3.2) сводится к известной формуле для плотности одномерного нормального закона с нормирующей константой  Типичный вид поверхности z = f (x) при k =2 и ее линий уровня приведен на рис.3.1 a, b.

Приведем без доказательства основные свойства k -мерного нормального закона. Доказательства, сводящиеся к вычислению соответствующих многомерных интегралов, можно найти в любом достаточно подробном курсе теории вероятностей.

1. Нормирующая константа С имеет вид
2. Параметры, определяющие нормальный закон, совпадают с его математическим ожиданием и ковариационной матрицей: M X = a, cov(X) = Σ.
3. Любая линейная комбинация компонент X вектора снова является гауссовым случайным вектором. Любопытно, что имеет место и обратный факт: если для некоторого случайного вектора любая его одномерная линейная комбинация является гауссовой, то сам вектор также является гауссовым. Этот факт иногда используют в качестве определения многомерного нормального закона.
4. Рассмотрим сечение поверхности z = f (x), соответствующей гауссовой плотности (3.2), плоскостью z = z ₀:

Легко видеть, что соответствующая поверхность уровня имеет вид                                                                               

                                            (3.3)

где

                               (3.4)

и представляет собой в силу условия Σ>0 эллипсоид в k -мерном пространстве R^k с центром в точке a и направлениями осей, задаваемыми собственными векторами матрицы Σ (или Σ^-1). Семейство таких соосных эллипсоидов Q (с), получающихся из (3.3) при различных значениях с, называется семейством эллипсоидов рассеяния вектора X (рис.3.1 b):

                           (3.5)

Рис.3.1. Типичный вид плотности 2-мерного нормального закона и ее линий уровня

5. Для случайных векторов имеют место предельные теоремы, аналогичные тем, которые рассматриваются в одномерном случае.

Теорема. Пусть X ₁ ,…, X_n,… - последовательность независимых одинаково распределенных k -мерных случайных векторов, M X_i = a, cov X_i = B. Тогда

(сходимость по вероятности).

    Квадратичная форма, стоящая в левой части (3.2), может рассматриваться как квадрат расстояния между векторами X и a. Его называют расстоянием Махаланобиса:

Имеет место следующий факт: r_M ²(X, a) подчиняется хи-квадрат распределению с k степенями свободы. Таким образом,

                                                (3.6)

где  - случайная величина, распределенная по закону χ²(k). В частности, при k = 2 формула (3.6) имеет особенно простой вид:

                                             (3.7)

     Вообще, нахождение для нормального вектора вероятности попадания в область , сводящееся к вычислению многомерных интегралов

осуществляется легко только в трех случаях:

• Когда Σ – диагональная матрица, а A – параллелепипед;
• Когда A – параллелепипед со сторонами, параллельными осям эллипсоида рассеяния
• Когда A – эллипсоид рассеяния вектора X.

Более сложные интегралы чаще всего приходится вычислять по методу Монте-Карло (см. ниже пример 3.3).

  Пример 3.1.  . Задана постоянная (неслучайная) матрица G размерности k × m. Найти распределение вектора Y= G X.

   Решение. Умножение на матрицу – линейная операция, все компоненты вектора Y являются линейными функциями от компонент X, поэтому Y – m -мерный гауссов вектор. Остается найти его математическое ожидание и ковариационную матрицу. Имеем:

M Y = M(GX) = G M X = Ga;

Cov(Y) = M(Y ₀ Y ₀ ^T) = M[ GX ₀(GX ₀) ^T ] = M[ G (X ₀ X ₀ ^T) G^T ] = G M(X ₀ X ₀ ^T) G^T = G Σ G^T,

Y ₀ = Y – M Y, X ₀ = X – X ₀.

Пример 3.2. X = [ x ₁, x ₂] ^T – гауссов случайный вектор, средние его компонент равны нулю, дисперсии σ₁²=1, σ₂²=4, коэффициент корреляции ρ = -0.5. Какой угол образует его главная ось с осью Ox?

Решение. Ковариационная матрица вектора X

Найдем ее собственные числа и собственные векторы оператором [ C, L ] = eig(Σ). Главной оси отвечает минимальное собственное число матрицы  (оно же – максимальное собственное число матрицы ) и первый столбец матрицы C, его компоненты – это косинус и синус искомого угла φ. Отсюда находим, что cos(φ)=0.8507, sin(φ)=0.5257, так что φ=0.5535 (рад) = 31.7154^о.