Системы дифференциальных уравнений и матричная экспонента

   Решение дифференциального уравнения для функций одной переменной  осуществляется чрезвычайно просто:

           (2.5)

Решение системы дифференциальных уравнений , где Y – вектор-столбец размерности < n ×1>, A – матрица < n × n > так, как оно излагается в обычных курсах математического анализа, неизмеримо сложнее. Однако на языке функций матричного аргумента решение полностью аналогично (2.5):

,

exp(At) – матричная экспонента, представляющая собой матрицу той же размерности, что и А. Т.обр., все трудности, связанные с решением системы, скрыты в конструкции матричной экспоненты. Если матрица несимметрична, то часть компонент Y может оказаться мнимой.

    Рассматриваемая схема сохраняется, если Y сама является матрицей той же размерности, что и A. В частности, в теории массового обслуживания приходится решать систему уравнений Чепмена-Колмогорова или с начальным условием  где

• Λ – матрица интенсивностей вероятностей перехода,
• Π(t) – матрица вероятностей перехода за время t,
• I – единичная матрица.

Решение с учетом начальных условий имеет вид Π(t)=exp(Λ t).

   Как отмечалось выше, если у квадратной матрицы X все собственные числа λ₁,…,λ _n различны или если X симметрична, она допускает представление X = C ^-1 LC, где L – диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы X, L =diag(λ₁,…,λ _n), С – матрица, столбцами которой являются нормированные собственные векторы X. В этом случае

exp(X) = C ^-1 exp(L) C, exp(L) = diag[ exp(λ₁),…,exp(λ _n) ].

Если среди собственных чисел есть совпадающие, то для вычисления матричной экспоненты простыми методами можно использовать отрезок соответствующего степенного ряда:

.

Существуют крайне эффективные алгоритмы, позволяющие быстро вычислять любую функцию от матрицы. В частности, в ИМС MatLab для матричной экспоненты имеются операторы expm(X), expm1(X), expm2(X), expm3(X), основанные на различных математических подходах.

   При некоторых дополнительных предположениях рассмотренную схему можно использовать для приближенного решения еще более сложных нелинейных систем вида  Для моментов времени  метод Эйлера приводит к рекурсии

модифицированный метод Эйлера – к соотношениям

и т.д., где выражения в квадратных скобках представляют собой первые слагаемые разложения  в степенной ряд. Говорят, что эти соотношения описывают приближенное решение нелинейной системы в аддитивной форме. Матричная экспонента приводит к аналогичной рекурсии в более точной мультипликативной форме:

Эта форма широко используется, в частности, при решении систем стохастических дифференциальных уравнений.

Пример 2.5. Решить систему дифференциальных уравнений

               c начальными условиями x (0) = 1, y (0) = -2.

Явное решение. Запишем систему в матричных обозначениях:

Матрица A имеет собственные числа , им соответствуют собственные векторы (1; i) и (1; - i). Они определяют 4 фундаментальных решения:

Отсюда получаем общее решение x = C ₁ x ₁+ C ₂ x ₂, y = C ₁ y ₁+ C ₂ y ₂. Группируя однородные члены и вводя новые произвольные константы, получаем общее решение в виде

Из начальных условий находим С ₁=1, С ₂=2.

Численное решение.  нужно только располагать удобным алгоритмом вычисления матричной экспоненты.

  Пример 2.6. Найти производную обратной матрицы .

Решение.   Правая часть этого тождества – величина постоянная, ее производная по X равна нулю. Вычислим производную от обеих частей тождества:

Это прекрасно согласуется с известной формулой для функций одной переменной        

  Пример 2.7.   Найти sin(X) и exp(X).

  Решение. Матрица X симметрична, поэтому ее можно привести к диагональному виду, при этом ее собственные числа вещественны, а собственные векторы ортогональны. Применяя в ИМС Matlab оператор [ C, L ]=eig(X), находим

.