Системы нелинейных уравнений и матрица Якоби

  Пусть дана дифференцируемая функция одной вещественной переменной y = f (x). Требуется найти корни уравнения f (x) = 0. Пусть x ^{( k )} и x ^{( k +1)} – два последовательных приближения для одного из корней. Представим функцию в виде отрезка ряда Тейлора

                             (2.1)

Пренебрежем остатком R и будем считать второе приближение настолько точным, что f (x ^{( k +1)}) пренебрежимо мало по сравнению с остальными слагаемыми. Тогда из (2.1) получается ряд последовательных приближений

                          (2.2)

Доказывается, что при достаточно слабых ограничениях эта последовательность сходится к одному из корней уравнения f (x) = 0, к какому – определяется выбором начального приближения x ⁽⁰⁾. У каждого корня существует своя область притяжения: если x ⁽⁰⁾ выбрано в зоне притяжения корня x *, то последовательность (2) сойдется к x *.

   Замечание. Вместо точной формулы для производной можно использовать ее приближенное значение  с малым приращением δ.

  Применим эти соображения для решения системы n нелинейных уравнений c n неизвестными F (X)= 0 или, в развернутом виде,

Если все функции f_i (X) дифференцируемы, то F (X) называют дифференцируемым отображением . В этом случае каждую из функций f_i можно представить в виде, аналогичном (6.1):

 В векторно-матричных обозначениях аналогом (2.1) выступает формула

F (X ^{(k +1)} ) = F (X ^(k) ) + J (X ^(k) ) [ X ^{(k +1)} – X ^(k) ] + R,

где J – матрица частных производных или матрица Якоби отображения F:

J (X) = (X).

Аналог (2.2) – метод последовательных приближений для решения системы уравнений F (X)= 0 – получается на основе тех же соображений, что и в одномерном случае и имеет вид

X ^{(k +1)} = X ^(k) – J ^-1(X ^(k)) F (X ^(k) ).                               (2.3)

Каждое решение системы имеет свою область притяжения: если начальное приближение X ⁽⁰⁾ лежит в области притяжения решения X *, то последовательность (2.3) сойдется к X *.

  Процесс (2.3) предполагает многократное вычисление обратной матрицы J ^-1. Может случиться, что на каком-то шаге определитель J окажется равным нулю. В таких случаях предусматривают обходной путь: если J ^-1 не существует, то в (3) используют матрицу (J +ε E)^-1, где E – единичная матрица < n × n >, а ε – малое число, которое может уменьшаться с ростом номера итерации k.

• В ИМС MatLab эти алгоритмы реализованы в виде функций roots (корни полинома), fzero и fsolve.

Пример 2.1. Решить уравнение e ^{0.1 x} - x ²=0 (см. рис. 2.1).

Решение. Коварство этого уравнения в том, что у него не 2 корня, как может показаться из рис.2.1, а три. Это следует из того, что экспонента всегда растет быстрее степенной функции, поэтому при очень больших x обязательно должно появиться еще одно пересечение графиков.

Уравнение решается по формуле (2.2). Если начальное приближение x ⁽⁰⁾<0.04, приходим к корню x *=-0.9534. Если начальное приближение x ⁽⁰⁾ от 0.06 до примерно 71, приходим к корню x *=1.0541. Если начальное приближение x ⁽⁰⁾>78, приходим к корню x *=89.9951.

Рис.2.1. Итерационное решение нелинейного уравнения из Примера 2.1

  Во всех этих случаях требуется всего 3-4 итерации. Если x ⁽⁰⁾ находится в одной из промежуточных зон, процесс все равно приходит к одному из трех корней, но для этого может потребоваться порядка 20 итераций. Неустойчивость может возникнуть, если на одной из итераций производная окажется слишком близкой к нулю. 

  Пример 2.2. Решить систему уравнений .

Решение. Итерационный процесс имеет вид

                          (2.4)

При начальном приближении x ⁽¹⁾=1, y ⁽¹⁾=1 значение корня x *=0.7391, y *=0.6736 достигается уже на третьей итерации. Второй корень x *=-0.7391, y *=-0.6736 находится либо сразу из соображений симметрии, либо при отрицательных значениях начального приближения. Зоны притяжения корней примерно разделяются биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов, при этом вблизи границы зон возникает неопределенность за счет возможных малых значений определителя матрицы Якоби.