Раздел II . Методические указания решения задач по электромагнетизму

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Закон Кулона.

Напряженность поля протяженных источников

Основные формулы и законы

 

Силы взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме

Коэффициент в законе Кулона

Электрическая постоянная

Сила, действующая на заряд, помещенный в электростатическое поле

Напряженность поля точечного заряда

Линейная плотность заряда

Принцип суперпозиции полей

 

Примеры решения задач

 

Задача 6.1. Найти напряженность поля на оси равномерно заряженного кольца с зарядом q радиуса R на расстоянии х от его центра.

Рис. 6.1

Решение

Разобьем кольцо на бесконечно малые элементы, несущие заряд  Рассмотрим один элемент кольца, опирающийся на центральный угол  В силу симметрии напряженность на оси кольца от всех элементов кольца будет направлена вдоль оси Х. Тогда вклад этого элемента будет

где

Так как заряд равномерно распределен по кольцу, то

;

.

Тогда

.

Ясно, что если x >> R, то

т.е. поле кольца на больших расстояниях совпадает с полем точечного заряда.

Для нахождения максимального значения напряженности на оси кольца возьмем производную от напряженности по координате х и приравняем ее нулю

Получим, что напряженность электрического поля имеет максимальное значение на расстоянии

 

Задача 6.2. Тонкое полукольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом q. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

 

Рис. 6.2

Решение

Разобьем кольцо на малые элементы . Каждый элемент создает поле напряженности . Разложим его на проекции вдоль осей Х и У. Тогда результирующее поле

Из рис. 6.2 видно, что  равна нулю, так как для любой проекции , создаваемой элементом  с зарядом  в пределах , всегда найдется другой вектор , лежащий в пределах , равный ему по абсолютной величине, но противоположно направленный.

Для каждого малого участка  можно записать

Проекция напряженности поля на ось У равна

 

 

Результирующее поле

Вычисление напряженности электрического поля с помощью теоремы Гаусса

 

Основные формулы и законы

 

Поток вектора напряженности электрического поля через поверхность S:

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность

Теорема Гаусса

Линейная плотность заряда

Поверхностная плотность заряда

Объемная плотность заряда

Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной пластины

Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной нити (цилиндра)

Напряженность поля заряженной сферы (шара) на ее поверхности

Сила, действующая на заряд, помещенный в электростатическое поле

Принцип суперпозиции полей

 

Примеры решения задач

 

Задача 6.3. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд l на единицу длины и расположена параллельно плоскости с поверхностной плотностью заряда s. Расстояние между нитью и плоскостью равно . Найти модуль силы, действующий на единицу длины нити.

 

Решение

Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной пластины равна

В поле пластины находится заряд нити единичной длины, равный

Используя полученные выражения, найдем силу, действующую на заряд со стороны поля пластины