Кинематика материальной точки

Основные формулы и законы кинематики

 

Вектор средней скорости частицы .

Вектор мгновенной скорости .

Вектор мгновенного ускорения .

Модули вектора мгновенной скоростиивектора мгновенного ускорения

.

Тангенциальное (касательное) ускорение .

Нормальное (центростремительное) ускорение .

Путь, пройденный частицей .

Средняя путевая скорость .

Мгновенная угловая скорость .

Мгновенное угловое ускорение .

Связь линейной скорости частицы с угловой скоростью .

Связь линейного ускорения частицы с угловым ускорением .

Модуль полного ускорения .

Таблица 1.1

Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Равномерное движение вдоль ОХ	Равномерное вращение
Равноускоренное движение вдоль ОХ	Равноускоренное вращение

Примеры решения задач

 

Задача 1.1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид , где А = 4 м, В = 2 м/с, С = -0,5 м/с². Для момента времени t ₁ = 2 c определить координату точки, мгновенную скорость и мгновенное ускорение.

 

Решение

Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения заданное значение времени t ₁ = 2 c.

.

Мгновенную скорость определим продифференцировав координату Х по времени .

В заданный момент времени .

Знак «минус» указывает на то, что в момент времени t ₁ = 2 c точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

Мгновенное ускорение найдем, взяв вторую производную от координаты Х по времени .

Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно

.

Задача 1.2. Вращается диск радиусом R = 20 см = 0.2 м. Зависимость угла поворота от времени описывается уравнением , где А = 3 рад, В = -1 рад/с, С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 1 c.

 

Решение

Угловую скорость находим дифференцированием .

Нормальное ускорение .

В момент t = 1 c .

Линейная скорость точек на краю диска .

Тангенциальное ускорение .

В момент t = 1 c .

Полное ускорение в тот же момент времени .

 

Задача 1.3. Материальная точка начинает движение по окружности радиуса R без начальной скорости с постоянным угловым ускорением . Через какое время вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол ? Какой путь за это время пройдет частица? На какой угол повернется ее радиус-вектор?

Решение

При движении по окружности вектор скорости и вектор тангенциального ускорения направлены по касательной к ней, а вектор нормального ускорения – вдоль радиуса к центру (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1.

 

Тангенс угла между полным ускорением и скоростью тела, как видно из рис. 1.1 равен                        

.                                     (1.1)

Скорость частицы выражается через угловую скорость:

.                                       (1.2)

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением соотношением

,                                      (1.3)

а нормальное ускорение может быть выражено через скорость частицы:

.                                      (1.4)

Поскольку частица движется с постоянным угловым ускорением без начальной скорости, то ее угловая скорость равна

,                                        (1.5)

а угол поворота радиус-вектора зависит от времени по закону

.                                        (1.6)

Подставим (1.5) в (1.2) в (1.4): 

.                                    (1.7)

Подставим (1.7) и (1.3) в (1.1) и получим уравнение относительно t:

,

откуда

.

Из (1.6) находим угол поворота радиус-вектора .

Путь, пройденный частицей, выражается через угол поворота радиус-вектора

.                                           (1.8)

Подставляя выражение для угла поворота в (1.8), получим путь, пройденный частицей .

Задача 1.4. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время t =10 с достиг частоты вращения 300 об/мин. Определить угловое ускорение маховика и число оборотов N, которое он сделал за это время.

 

Решение

При решении задачи следует воспользоваться законами равнопеременного движения применительно к вращению тела вокруг неподвижной оси. Так как движение равноускоренное, то угловая скорость зависит от времени по линейному закону:

(в момент t = 0 маховик начал свое вращение). Разделив ее на угол 2p, соответствующий одному обороту, мы получаем, что в момент t скорость вращения диска составляет

оборотов в единицу времени. Нам дано значение n(10)=300 об/мин = 5 об/с. Находим тогда

Если N(t) - число оборотов, которые диск совершил к моменту времени t, то производная этой функции dN/dt и дает нам скорость вращения диска

Отсюда получаем

К моменту t = 10 с тело совершит

 

Задача 1.5. Камень брошен горизонтально со скоростью v ₀ = 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня через время t = 1 с после начала движения. Найти радиусы кривизны траектории в момент броска и через 1 с после начала движения.

 

Решение

Рассмотрим свободное падение камня как суперпозицию двух независимых движений: по горизонтали и вертикали. При движении в поле тяжести земли горизонтальная составляющая скорости камня остается постоянной  (по х – равномерное движение), а по вертикали возрастает  (по у – равноускоренное движение с ускорением свободного падения), при этом полное ускорение камня также равно ускорению свободного падения . Разложим полное ускорение на тангенциальную и нормальную составляющие, а полную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Полная скорость и полное ускорение равны ,

.

Из рис. 1.2 видно, что

Рис. 1.2

 

Из этих соотношений легко получить

.

Для момента броска запишем выражение для нормального ускорения , откуда найдем радиус кривизны траектории . Аналогично, нормальное ускорение через t = 1 с после начала движения

,

откуда найдем искомый радиус кривизны

.

 

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ