Механика абсолютно твердого тела

 

Основные формулы и законы

 

Момент инерции тела относительно оси

Значения моментов инерции некоторых тел приведены в табл. 4.1.

 

Таблица 4.1

Тело	Положение оси	Момент инерции
1. Материальная точка
2. Полый тонкостенный цилиндр	ось цилиндра
3. Сплошной цилиндр (диск)	ось цилиндра
4. Полый цилиндр с внутренним радиусом r и внешним радиусом R	ось цилиндра
5. Шар	ось проходит через центр шара
6. Тонкостенная сфера	ось проходит через центр сферы
7. Тонкий стержень	ось перпендикулярна стержню и проходит через центр масс
8. Тонкая прямоугольная пластина	ось перпендикулярна пластине и проходит через центр масс
9. Куб	ось проходит через центр масс и перпендикулярна одной из граней
10. Прямой конус	ось конуса

 

Теорема о параллельных осях (теорема Гюйгенса-Штейнера)

Момент инерции плоского тела, лежащего в плоскости хоу

Теорема о трех взаимно перпендикулярных осях

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

 

Аналогия между поступательным и вращательным движениями видна из табл. 4.2.

Таблица 4.2

Поступательное движение	Вращательное движение
Перемещение	Угол поворота
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Масса m	Момент инерции I
Импульс	Момент импульса
Сила	Момент силы
Основное уравнение динамики поступательного движения	Основное уравнение динамики вращательного движения
Работа	Работа
Мощность	Мощность
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

Примеры решения задач

Задача 4.1. Найти момент инерции тонкого стержня длиной  и массой  относительно оси, проходящей через край стержня перпендикулярно стержню.

Рис. 4.1.

Решение

Используя теорему Штейнера для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр, учитывая, что  получим

Задача 4.2. Найти момент инерции тонкого диска радиуса R и массой m относительно оси x (см. рис. 4.2)

 

Решение

В силу симметрии ясно, что .

Рис. 4.2

Момент инерции диска относительно оси z будет:

Используя , получим

.

 

Задача 4.3. На однородный сплошной цилиндр массы m ₁ радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m ₂. В момент времени t = 0система пришла в движение. Найти зависимость от времени угловой скорости цилиндра.

Рис. 4.3

Решение

Рассмотрим движение двух тел: вращающегося цилиндра и тела m ₂, совершающего поступательное движение. На это тело действует сила тяжести и сила натяжения нити. Второй закон Ньютона для тела имеет вид:

Основное уравнение динамики вращательного движения для цилиндра

Момент инерции цилиндра относительно его оси будет равен

Угловое ускорение блока связано с ускорением груза соотношением

Тогда , откуда  

Подставив Т в уравнение второго закона Ньютона, получим

Линейное ускорение тела и точек на ободе цилиндра равно

Угловое ускорение

Угловое ускорение не зависит от времени, следовательно, вращение равноускоренное, поэтому зависимость угловой скорости цилиндра от времени будет иметь вид:

Задача 4.4. В установке, показанной на рисунке, известны масса блока, являющегося однородным цилиндром m, его радиус R, массы грузов  и . Нить движется по блоку без проскальзывания, трение в оси блока отсутствует. Найти угловое ускорение блока и силы натяжения в вертикальных участках нити.

Рис. 4.4

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из двух грузов  и , а также блока. Грузы движутся поступательно в вертикальном направлении. Для описания их движения воспользуемся вторым законом Ньютона.

На грузы действуют силы, показанные на рис. 4.5.

 

Рис. 4.5

Положим для определенности, что  тогда ускорения грузов будут иметь направления, показанные на рис. 4.5.

Уравнения второго закона Ньютона для грузов в проекции на направление ускорения имеют вид

                                       (4.1)

                                      (4.2)

Блок вращается вокруг неподвижной оси. Его движение описывается с помощью основного уравнения динамики вращательного движения.

Найдем моменты сил, действующих на блок, относительно оси блока. Моменты сил  и  относительно этой оси будут равны нулю. Моменты сил натяжения будут равны соответственно

 и                                   (4.3)

Из условия невесомости нити вытекают равенства

 и                                        (4.4)

Момент инерции блока относительно его оси будет

                                       (4.5)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для блока относительно оси вращения с учетом (4.4) и (4.5), а также правила знаков для моментов сил:

                                 (4.6)

Поскольку нить предполагается нерастяжимой, то ускорения грузов равны по величине. Отсутствие проскальзывания нити по блоку приводит к тому, что угловое ускорение блока связано с ускорением грузов соотношением

                                        (4.7)

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что силы натяжения нити по разные стороны блока принимают различные значения, за счет чего блок приводится во вращательное движение.

Решая систему уравнений, определяем угловое ускорение блока

                             (4.8)

Подставив (4.8) в (4.7), находим ускорение грузов, подставив значение которого поочередно в (4.1) и (4.2), определяем силы натяжения вертикальных участков нити:

Если масса блока пренебрежимо мала, то из (4.8) следует

а силы натяжения будут равны

Задача 4.5. Найти угловое ускорение маятника Обербека, представляющего собой крестовину с грузами, насаженную на ось, и могущую вращаться вокруг нее (см. рис. 4.6).

Решение

На барабан крестовины радиуса r намотана нить, к концу которой привязан груз массой m. Под действием силы тяжести груз m опускается и приводит крестовину во вращение. Второй закон Ньютона для груза имеет вид

Запишем уравнение вращательного движения для крестовины

.

Момент силы натяжения нити будет

Если нить нерастяжимая, то

Рис. 4.6

 

Решая систему уравнений, получим:

,

Отсюда  и