Закон сохранения момента импульса плоское движение

Основные формулы и законы

Момент силы

Момент импульса частицы

Уравнение моментов для частицы

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Закон сохранения момента импульса ,

Примеры решения задач

 

Задача 5.1. На гладкой горизонтальной плоскости движется шайба массы m, привязанная к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивается в отверстие 0 в плоскости с постоянной скоростью. Найти силу натяжения нити в зависимости от расстояния  между шайбой и отверстием 0, если при  угловая скорость шайбы была

 

Рис. 5.1

Решение

Движение шайбы в любой момент может быть представлено в виде суммы движения по окружности радиуса r и равномерного движения в радиальном направлении. Тогда ускорение в результирующем движении совпадает с нормальным ускорением при движении по окружности.

Поскольку сила натяжения нити, действующая на шайбу в процессе движения, всегда направлена к точке 0 и, следовательно, имеет момент относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проведенной через точку 0, равный нулю, то момент импульса шайбы относительно этой оси сохраняется

.                               (5.1)

Второй закон Ньютона для шайбы в проекции на радиальное направление имеет вид

                                      (5.2)

Сила натяжения нити T может быть определена из (5.1) и (5.2) с учетом начального условия.

С учетом начального условия (5.1) принимает вид

                                   (5.3)

откуда

                                   (5.4)

Подставляя (5.4) в (5.2), находим

 

Задача 5.2. На покоящемся однородном горизонтальном диске массой М и радиусом R находится человек массой m. Диск может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент времени человек начинает двигаться. С какой угловой скоростью w вращается диск, когда человек идет по окружности радиуса r со скоростью  относительно диска? Человека считать материальной точкой.

 

Решение

Рассмотрим все силы, действующие на систему «диск – человек». Когда человек движется по диску, на него действует сила трения со стороны диска, и точно такая же сила, но в противоположном направлении действует на диск. Именно эта сила создает вращающий момент, под действием которого диск начинает вращаться. По отношению к системе обе эти силы являются внутренними и не могут изменить ее момент импульса.

Рассмотрим внешние силы. Это сила тяжести человека, сила реакции опоры со стороны диска, сила тяжести диска и сила реакции опоры, действующая на диск со стороны подшипников оси. Поскольку эти силы направлены параллельно оси вращения, нетрудно убедиться, что проекции их моментов на ось вращения равны нулю.

Таким образом мы доказали, что выполняется условие применимости закона сохранения момента импульса, а, следовательно, проекция суммарного момента импульса на ось вращения до и после начала движения будет иметь одинаковую величину.

До начала движения момент импульса системы «диск – человек» был равен нулю. После того, как человек пошел, его момент импульса L _ЧЕЛ стал равен

а момент импульса диска

В условии задана скорость движения человека относительно диска .

Но, применяя закон сохранения момента импульса, мы должны определять моменты импульса отдельных тел в одной и той же системе координат.

Скорость человека  в неподвижной системе координат, связанной с землей, получается из его скорости  относительно движущейся системы координат, связанной с диском, и скорости самой движущейся системы координат, равной скорости той точки диска, в которой человек находился в данный момент, т.е. произведения .

Закон сохранения момента импульса для системы будет иметь вид

 или

Рис. 5.2

Подставляя в эту формулу момент инерции диска , получим искомую угловую скорость

Задача 5.3. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом r = 20 см был раскручен до частоты вращения ν ₁ = 480 мин^-1 = 8 с^-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Считая момент сил трения постоянным, найти его для двух случаев: 1) маховик остановился через Δ t = 50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N = 200 оборотов.

 

Решение

1. По основному закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента

Здесь  – момент инерции маховика, w₁ и w₂ –  начальная и конечная угловые скорости вращения. Так как w₂ =0 и w₁ =2p ν ₁, то

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

2. Число оборотов, сделанных маховиком до остановки, определяет его угловое перемещение  Используем формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

С другой стороны работа при вращательном движении определяется по формуле

Приравнивая эти два выражения для работы, получим

 

Задача 5.4. Определить ускорение цилиндра, который скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости.

 

Решение

Центр масс находится на оси цилиндра.

Рис. 5.3

 

Если проскальзывание отсутствует, то точка О является мгновенной осью, а сила трения является силой трения покоя.

Рассмотрим скатывание цилиндра как плоское движение. Уравнения движение центра масс в проекциях на оси О x, Oy имеют вид:

.

Поскольку проскальзывание отсутствует, то сила трения будет силой трения покоя и

Вращение вокруг центра масс опишем уравнением:

Учтем, что только сила трения покоя  имеет ненулевой момент силы относительно центра масс:

Момент инерции цилиндра относительно центра масс будет

В отсутствие проскальзывания имеет место кинематическое соотношение

 или

Решая полученную систему уравнений найдем ускорение центра масс:

Задача 5.5. Найти скорость центра масс цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h.

Рис. 5.4

Решение

Так как сила трения работы не совершает, то полная механическая энергия сохраняется:

Учитывая, что  и , и решая полученное уравнение, находим скорость центра масс цилиндра в положении 2:

.

 

Задача 5.6. Верхний конец однородного стержня длиной  и массой M шарнирно закреплен, и стержень висит вертикально. В середину стержня попадает горизонтально летящая пуля массы m со скоростью v и застревает в нем. Найти максимальный угол отклонения стержня от вертикали.

 

Рис. 5.5

 

Решение

В момент столкновения пули со стержнем в шарнире возникает горизонтальная сила реакции. Поэтому в системе «стержень – пуля» в момент соударения импульс системы не сохраняется. В то же время выполняется закон сохранения момента импульса системы относительно горизонтальной оси, проходящей через точку закрепления, поскольку моменты сил тяжести и силы реакции в шарнире относительно этой оси равны нулю. Одновременно отметим, что поскольку удар является абсолютно неупругим, то полная механическая энергия в момент столкновения не сохраняется.

Запишем закон сохранения момента импульса относительно оси закрепления стержня:

,                                  (5.5)

где

                                 (5.6)

и

                                   (5.7)

– соответственно моменты инерции стержня и пули относительно оси закрепления стержня.

После столкновения стержень начинает вращаться вокруг оси закрепления. Если пренебречь трением в шарнире, то в процессе движения стержня выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Запишем закон сохранения полной механической энергии системы в процессе движения стержня после столкновения:

           (5.8)

Найдем из (5.5) угловую скорость стержня с пулей непосредственно после удара:

.                               (5.9)

Подставляя (5.9) в (5.8) и решая полученное уравнение, находим максимальный угол отклонения стержня:

.

Подставляя сюда значения моментов инерции (5.6) и (5.7) и выполнив преобразования, получаем окончательно

.