Индукция магнитного поля прямого и

Кругового проводника с током

Основные формулы и законы

Магнитнаяиндукциия поля бесконечного прямолинейного проводникас током I в вакууме на расстоянии r от проводника

где  – магнитная постоянная

Магнитная индукция в центре кругового витка с током

Магнитная индукция на оси кругового витка с током на расстоянии х от центра витка

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника

Магнитная индукция внутри соленоида вдали от его концов

Принцип суперпозиции

Примеры решения задач

 

Задача 7.1. Два круговых проводника одинакового радиуса с общим центром О расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Индукция в точке О равна В ₀ = 2 мТл = 2∙10^-3 Тл. Индукция магнитного поля первого проводника с током I ₁ = 8 А в этой же точке В ₁ = 1,6 мТл = 1,6∙10^-3 Тл. Определить индукцию В ₂ магнитного поля второго проводника в точке 0 и силу тока I ₂ в нем.

Рис. 7.1

Индукция магнитного поля кругового тока I ₁ в центре петли (в точке О) по величине равна

а тока I ₂ соответственно

Направления векторов  и указаны на рис. 7.1 и составляют между собой прямой угол.

Результирующая индукция в точке О равна

Отсюда искомые величины:

 

Задача 7.2. Найти величину индукции магнитного поля в центре петли радиусом R = 10 см = 0,1 м, образованной бесконечно длинным тонким проводником с током I = 50 А.

 

Решение

Рис. 7.2

 

Вектор индукции магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током на расстоянии r от него по величине равен

и направлен в центре (точке О) петли перпендикулярно ее плоскости на нас.

Вектор индукции  магнитного поля кругового тока в центре петли по направлению совпадает с  и по величине равен

Индукции поля, создаваемого проводником и круговым током в центре петли равна

 

Задача 7.3. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток I. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке О. Радиус изогнутой части контура равен R.

Рис. 7.3

 

Решение

Разобьем нашу фигуру на 5 частей: часть окружности и 4 стороны квадрата. От каждой из частей определим направление вектора магнитной индукции. Вектор индукции от 3/4 части окружности равен

и направлен в точке 0 перпендикулярно ее плоскости от нас.

Так как точка О лежит на оси проводников 2 и 5, то .

Векторы магнитной индукции, создаваемые проводниками 3 и 4, будут в точке О направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас. В силу симметрии задачи вклад от этих двух проводников будет одинаковым. Для определения значения магнитной индукции от проводника 3 воспользуемся формулой для отрезка проводника:

Для нашего случая магнитная индукция, создаваемая проводником 3, равна:

Согласно принципу суперпозиции

Таким образом, в точке О значение магнитной индукции равно

Сила Лоренца, сила Ампера

Основные формулы и законы

 

Магнитная сила (сила Лоренца):

Полная сила, действующая на заряд:

Сила Ампера:

Магнитная индукция поля бесконечного прямолинейного проводникас током I в вакууме на расстоянии r от проводника:

Магнитная индукция в центре кругового витка с током

 

Примеры решения задач

Задача 7.4. В поле прямого провода с током I в одной плоскости с ним находится квадратная рамка с током i и стороной a так, что две ее стороны параллельны проводу. Ближайшая сторона рамки находится на расстоянии  от провода. Определить силу Ампера, действующую на рамку.

Рис. 7.4

Решение

Прямой провод с током создает вокруг себя магнитное поле. Направление вектора индукции магнитного поля показано на рис. 7.4. Каждая из сторон рамки, являющаяся проводником с током i, находится в магнитном поле провода, поэтому, на каждую из сторон рамки действует сила Ампера, лежащая в плоскости, перпендикулярной вектору индукции, и направленная перпендикулярно стороне (см. рис. 7.5).

Поскольку угол между направлением тока в рамке и вектором индукции прямой, то силы Ампера, действующие на стороны 1 и 3, равны, cоответственно

где В ₁ и В ₃ – значения магнитной индукции в местах, где расположены стороны рамки 1 и 3.

Рис. 7.5

 

В силу симметрии задачи, ясно, что силы, действующие на стороны рамки 2 и 4, равны между собой.

Для определения значений сил, действующих на стороны рамки 2 и 4, выделим малый участок рамки шириной dx, в пределах которого значение магнитной индукции будем считать равным

Элементарная сила Ампера, действующая на малый участок, равна

а сами силы

Результирующая сила, действующая на рамку:

Поскольку силы, действующие на стороны 2 и 4, компенсируют друг друга, то результирующая сила будет равна

и направлена в сторону прямого провода.

Электромагнитная индукция

Основные формулы и законы

 

Магнитный поток

Магнитный поток через поверхность равен

ЭДС электромагнитной индукции

Индукционный ток в замкнутом проводящем контуре:

ЭДС электромагнитной индукции при движении прямолинейного проводника в однородном магнитном поле перпендикулярно силовым линиям:

Если проводник движется под углом a к силовым линиям поля, то ЭДС индукции будет определяться соотношением:

.

Магнитный поток, охватываемый контуром, пропорционален силе тока в проводнике:

Индуктивность соленоида:

ЭДС самоиндукции в проводнике в отсутствие ферромагнетиков (L = const):

Магнитная энергия, запасенная в соленоиде:

Примеры решения задач

Задача 7.5. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I, расположена прямоугольная рамка размером а х b так, что большие стороны ее длиной b параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно с. Определите магнитный поток, пронизывающий рамку.

 

Рис. 7.6

Решение

Магнитный поток через поверхность площади рамки равен

Вектор магнитной индукции  перпендикулярен плоскости рамки, поэтому для всех точек плоскости рамки . Магнитная индукция, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х, то и элементарный поток будет зависеть от х, где х – расстояние от провода до точки, в которой определяется В:

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной b, шириной dx и площадью dS = bdx. В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной.

Тогда элементарный магнитный поток можно записать в виде:

Проинтегрировав данное выражение в пределах от с до с + а, найдем:

 

Задача 7.6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл расположен проволочный виток таким образом, что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, прошедший через гальванометр при повороте витка на некоторый угол, равен q = 0,08 Кл. На какой угол повернули виток, если его площадь S = 0,4 м², а сопротивление витка вместе с гальванометром       R = 1,5 (Ом)?

 

Решение

Выберем направление нормали к витку таким образом, чтобы в начальном положении она была перпендикулярна вектору . Тогда начальный поток будет равен

а после поворота на угол φ поток станет равен

Прошедший через виток заряд выражается через изменение потока

Определим изменение потока

а затем и заряд

Из последнего уравнения получим:

Искомый угол поворота равен:

 

Задача 7.7. Провод, имеющий форму параболы , находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости параболы. Из вершины параболы в момент t = 0 начали двигать прямолинейную перемычку, параллельную оси х. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре как функцию у, если перемычку перемещают с постоянной скоростью v.

 

Рис. 7.7

Решение

При перемещении перемычки на расстояние dy увеличение площади контура равно:

Увеличение площади приводит к изменению магнитного потока через контур и, соответственно, к появлению ЭДС. Найдем ее.

Модуль ЭДС равен:

В нашей задаче перемычку двигают с постоянной скоростью , поэтому

Окончательно, ЭДС индукции как функция координаты у будет иметь вид

Задача 7.8. Квадратная рамка со стороной а и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости. Рамку поступательно перемещают с постоянной скоростью v. Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния х.

Рис. 7.8

Решение

ЭДС индукции равна

В нашей задаче изменение магнитного потока идет не за счет изменения площади, а за счет изменения величины вектора В в зависимости от х.

Для бесконечного длинного провода:

Из последней формулы имеем:

Магнитный поток, пронизывающий рамку:

Площадь элементарной площадки:

Изменение магнитного потока через элементарную площадку:

Знак минус показывает, что с удалением от провода величина потока убывает. ЭДС индукции равна

 

Задача 7.9. По катушке индуктивности L = 0,03 Гн течет ток I = 0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время     ∆ t = 10^-3 с. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке.

 

Решение

При размыкании цепи ток в катушке начнет уменьшаться, что приведет к изменению магнитного потока, пронизывающего витки катушки. При этом в катушке возникнет ЭДС самоиндукции

Следовательно, за время уменьшения тока до нуля в катушке будет действовать ЭДС самоиндукции, среднее значение которой