Тема. Основы математической статистики в агрономии. Методы статистической обработки результатов исследований.

1. Основные понятия и задания математической статистики.

2. Анализ вариационных рядов количественной и качественной изменчивости.

Математическая статистика – раздел математики, который опираясь на теорию вероятностей занимается методами систематизации, обработкой и использованием статистических данных для формулировки окончательных научных и практических выводов и рекомендаций; она позволяет делать умозаключения о всей (генеральной) совокупности на основе наблюдений над выборочной совокупностью, или выборкой.

Все статистические методы основаны на теории вероятностей – науке, изучающей общие закономерности в массовых случайных явлениях различной природы. Объектам агрономических (биологических) исследований (растения, их группы, урожай и окружающая природная среда) присуще явление изменчивости, то есть отличие друг от друга даже в однородных совокупностях.

Изменчивость признаков, показателей, свойств растений и их среды обитания называют их варьированием.

Изменчивость – это свойство, присущее всем объектам природы. Ч.Дарвин сказал: «В природе нет двух совершенно одинаковых растительных или животных организмов, то есть они имеют свою изменчивость». Варьирование возникает не только от индивидуальной для каждого биологического объекта наследственности, но и от того, что их формирование протекает в относительно различных условиях внешней среды. Поэтому, в агрономических опытах, даже при самой тщательной работе, урожаи на параллельных делянках или в сосудах всегда получаются разные. Следовательно, при любом исследовании данные опытов будут всегда варьировать в тех или иных пределах.

У растений варьирующими признаками являются: высота, вегетативная масса, кустистость, площадь листовой поверхности, показатели структуры колоса (метелки, корзинки и т.д.) – количество и масса зерна с колоса, масса 1000 зерен, натура, стекловидность, содержание белка, клейковины, крахмала, масличность, лузжистость, сахаристость и многие другие.

Изменчивость, варьирование признаков создает известную трудность в тех случаях, когда требуется дать общую характеристику определенной варьирующей группе (совокупности) растений, почв и т.п. по отдельным признакам или сравнить две такие группы и найти различие между ними.

Очевидно, что не всегда возможно исследовать по тому или иному признаку все особи, всю совокупность. В этом случае прибегают к изучению части её, по которой делают общее заключение. Метод называют выборочным и считают основным при статистическом изучении совокупности.

Т.о., всю группу биологических объектов, подлежащую изучению, называют генеральной совокупностью, а ту её часть, которая попала под проверку, исследование, - выборочной совокупностью или выборкой.

Число элементов в генеральной совокупности и выборке называют их объёмом.

Главная цель выборочного метода – по статистическим показателям малой выборки (средней пробе) наиболее точно охарактеризовать всю совокупность объектов, т.е. генеральную совокупность.

Аналогично, при постановке полевых опытов, в которых не более 4-8 одноименных (повторных) делянок и по их урожаям и другим показателям, т.е. по этой малой выборке из общей площади опытного участка, пытаются получить достоверные выводы относительно всего опытного участка, всей генеральной совокупности, которая должна быть охарактеризована возможно более простыми статистическими показателями.

Полученные сведения о численной величине изучаемого признака (Х) у каждого члена данной выборочной совокупности называют вариантами и обозначают Х₁, Х₂, …, Х_n. Полученный ряд варьирующих величин можно упорядочить – расположить значения признака (варианты) в порядке возрастания или убывания (ранжирование ряда). Далее можно заметить, что каждое значение признака встречается неодинаковое количество раз – одни редко, другие часто. Числа, которые характеризуют, сколько раз повторяется каждое значение признака у членов данной совокупности, называется частотами признака (f). Сумма всех частот (∑ f) равна объёму выборки, т.е. числу членов ряда – n. В результате такой обработки первичных наблюдений получаем Вариационный ряд, т.е. ряд данных, в которых указаны возможные значения варьирующего признака в порядке их возрастания или убывания и соответствующие им частоты.

Этот ряд бывает прерывистым (если значения вариантов целые числа) и непрерывным (если они дробные). Прерывистый ряд – количество растений на 1 м², зерен в колосе, колосьев, метелок или початков на растении и т.д. Непрерывный – значения вариант выражаются мерами длины, объёма, массы и имеют неограниченное число значений; всё зависит от степени точности для характеристики этого количественного признака.

Основные характеристики вариационного ряда:

f – частота однородных дат (значений изучаемого показателя - чисел);

Х – варианта, значение отдельного признака, показателя;

n – численность ряда;

 _- средняя арифметическая [ (∑f х) / n ];

S – среднее квадратическое (стандартное) отклонение   [ √ S² ];

                                                                             ∑ f (X - X)² 

S² – дисперсия (квадрат стандартного отклонения)  [                ];

                                              S                                         n - 1

V – коэффициент вариации [  × 100% ]»

                                                              S

S  - ошибка выборочной средней  [   ];  

√ n

S   % - относительная ошибка средней арифметической или точность 

                                S

       вычисления [     × 100% ];

                                  

 ν = (n – 1) – число степеней свободы вариации (число всех измерений   

                 изучаемого признака без единицы (число ню).

 

  Пояснение. При вычислении Х все величины независимы друг от друга, => их сумма (∑) делится на общее число вариант n (например)

5 – 3 – 4 – 6 – 5 - набор чисел, вариант, их сумма равна 23, а их Х (средняя арифметическая) = 23: 54 = 4,6.

     (+0,4; -1,6; -0,6; +1,4; 0,4) = 0 сумма отклонений от Х равна 0.

Но когда известен ряд наблюдений от Х₁ до Х_n, то каждое значение ряда (Х) и каждое отклонение (Х–Х) можно легко определить по значению Х и значениям остальных n – 1 вариант ряда. Любое отклонение зависит от величины всех остальных и численно равно их сумме, взятой с противоположным знаком, т.е. ∑ всех отклонений ∑(Х – Х) = 0. => неизвестное нам отклонение должно свести эту сумму к 0. => Отклонение одной любой отдельной варианты как бы лишено свободы вариации и точно определяется варьированием всех остальных вариант, т.е. (n – 1). => Число независимых величин при определении S² и S, равно не n, a (n – 1).

            ∑ f (X - X)                                        ∑ f (X - X)²  

S² =                                             S = √

       n - 1                                           n - 1

Далее рассмотрим и выполним конкретное задание по следующей теме:

«Составить вариационный ряд подсчета всходов подсолнечника на 1 м погонном рядка провести его анализ». Подсчет проводится на 1 погонном метре рядка в 10-ти местах по 10 проб (метровок) метров.

    Исходные данные будем брать из таблицы проведенных в поле подсчетов всходов растений подсолнечника (таблица 1).

Таблица 1. Количество всходов подсолнечника на 1 метре рядка, штук

№ ряда	№ метровки
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1	3	1	1	0	6	6	1	1	5	6
2	5	2	4	4	3	2	3	2	4	4
3	2	4	1	4	2	2	2	3	4	4
4	2	2	3	3	3	7	3	3	2	5
5	3	3	3	3	2	3	3	2	4	2
6	3	4	2	4	1	5	2	4	4	4
7	2	3	5	3	3	3	4	4	2	5
8	3	1	3	3	1	2	4	3	3	3
9	2	3	2	3	2	3	4	2	2	2
10	3	3	3	5	3	4	4	1	1	3

 

В таком виде ряд подсчетов густоты всходов подсолнечника (n=100) малопригоден для характеристики варьирования густоты.

Затем подсчитываем одинаковые числа (начиная от 0 и до 7) и составляем вариационный ряд и частоту однородных дат. => мы группируем значения Х₁, Х₂…Х_nв К групп с интервалом каждой группы i.

Таблица 2. Составление и анализ вариационного ряда

Х (количество растений на 1 пог. м)	f  (частота)	X·f (всего всходов)	(Х – х) (отклонение от средней)	f(X-x)	(X-x)^2	f(X- )^2
0	1	0	-3	-3	9	9
1	10	10	-2	-20	4	40
2	24	48	-1	-24	1	24
3	34	102	0	0	0	0
4	20	80	1	20	1	20
5	7	35	2	14	4	28
6	3	18	3	9	9	27
7	1	7	4	4	16	26
å	100	300	-	0	-	164

Ориентировочно число групп равно √100, из объёма выборки, оно не должно быть менее 5 и болем 20. В нашем случае оно равно 8.

 Расчеты параметров вариационного ряда

n – численность ряда у нас = 100 (10 × 10) или f;

(сумма частот равна объёму совокупности ∑f = n = 100;

Х × f = ∑f x – всего всходов подсолнечника (насчитали 300 шт.);

Х  - среднее арифметическое значение  = (åfх)/n = 300/100 = 3.

å×f×(X- ) = -47 + 47 = 0 (å всех отклонений от средней арифмет. всегда =0);

å×f×(X- )² = 164 – сумма квадратов отклонений от средней арифметической;

S²(g²), дисперсия = å×f×(X- )² /(n-1) = 164/99 = 1,65;

S(g), среднее квадратическое отклонение от  = = = ± 1,28;

S – мера разброса отдельных наблюдений (замеров) вокруг среднего значения признака. Чем больше дисперсия или стандартное отклонение, тем больше рассеяны индивидуальные значения признака около средней, т.е. больше изменчивость, и наоборот.

S – стандартное отклонение – показатель, характеризующий наиболее вероятную среднюю ошибку отдельного, единичного наблюдения, взятого из данной совокупности. В пределах одного значения (± 1 S) укладывается ≈ 2/3 всех наблюдений, или 68,3% всех вариант, т.е. основная часть изучаемого ряда величин. => S называется основным отклонением вариационного ряда. => возможны отклонения от X, превосходящие (± 1 S), но их вероятность по мере удаления отклонений от (± 1 S) все время уменьшается. Вероятность встретить варианту, отклоняющуюся от Х на величину > (± 3S) ≈ 0,3%.

Утроенное значение стандартного отклонения считается предельной ошибкой отдельного наблюдения, т.е. практически все значения вариант в вариационном ряду лежат в пределах (± 3S). Числовой коридор (± 3S) даёт ясное представление о широте ряда наблюдений, его рассеянии.

V, коэффициент вариации  =       S ×100 = (1,28/3)×100 = 42,7%;

                                                     x

S x, ошибка выборочной средней = =  =  0,13.

Т.е. пределы колебания х. В нашем случае Sx = 3 ± 0,13 растений, т.е. возможные колебания её от 2,87 до 3,13.

 Sx – ошибка выборочной средней (выборки) – это мера отклонения выборочной средней Х от средней всей (генеральной) совокупности µ. Sх возникает вследствие неполной репрезентативности (представительности) выборочной совокупности. Величина Sх зависит от степени изменчивости изучаемого признака и от объёма выборки. Чем больше S, тем больше Sх, и чем больше число измерений n, тем меньше Sx.

    Ошибку выборки выражают в тех же единицах, что и варьирующий признак и приписывают к соответствующим средним со знаком ±, х ± Sx.

S x %, относительная ошибка выборочной средней (точность вычисления) = Sx =  × 100%. В нашем случае  Sx = = 4.3%.

Рис. 6.1. Кривая вариационного ряда

Выводы

1. Среднее количество всходов на 1 пог. м. = 3 + 0,128, т.е. при повторных подсчетах оно может колебаться в пределах 2,872-3,128.

2. Густота посевов не выровнена, V значительный (42,7%, более 20%).

3. Точность вычисления (анализа) – удовлетворительная (4,3%).

Кривая вариационного ряда близка к синусоиде, т.е. к нормальному распределению.                                            Для справки:

 если V <10% - варьирование незначительное;

                         если 10%<V<20% - варьирование среднее;

                         если  V>20% - варьирование значительное;

    если    Sx% < 2% - отличная точность вычисления;

    если 2 < Sx% < 4% - хорошая точность вычисления;

    если 4 < Sx% < 5% - удовлетворительная точность вычисления;

    если    Sx% > 5 % - низкая точность вычисления.                   

Задача: Составить непрерывный вариационный ряд значений замера

            диаметра корзинки подсолнечника (табл. 3, 4).

Замеры диаметра корзинки подсолнечника проводились в фазу спелости (восковая окраска тыльной стороны) в 5-ти местах по 10 растений подряд.

Таблица 3. Диаметр корзинки подсолнечника, см

Ряд, №	№ растения
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1	18,5	19,2	19,4	22,0	18,6	18,9	19,3	20,1	19,8	20,3
2	18,7	18,5	15,5	18,9	18,5	18,5	19,4	20,8	20,2	19,8
3	19,1	16,8	18,4	18,9	17,0	20,0	21,2	18,1	17,9	19,6
4	19,4	18,9	19,3	17,2	19,4	18,7	20,0	20,2	19,5	20,3
5	17,8	17,6	21,0	18,0	18,2	17,9	18,1	22,4	18,0	17,5

X_min, наименьший диаметр = 15,5 см.

X_max, наибольший диаметр = 22,4 см.

X_max - X_min = 6.9»7 cм.

Выделяем 7 классов с разницей = 1 см и группируем в них замеры.

Таблица 4. Составление и обработка вариационного ряда

Х	Хv среднее	f	fXv	X^2v	fXv
15,5-16,4	16	1	16	256	256
16,5-17,4	17	3	51	289	867
17,5-18,4	18	10	180	324	3240
18,5-19,4	19	20	380	361	7220
19,5-20,4	20	11	220	400	4400
20,5-21,4	21	3	63	441	1324
21,5-22,4	22	2	44	484	968
å	-	50	954	-	18274

Расчеты: х – среднее арифметическое = åfX_v/n = 954/50 = 19,1 см;

         C – корректирующий фактор = (åfX_v)²/n = 954²/50 = 18202;

          S² – дисперсия = (åfX²_v –С)/n-1 = (18274-18202)/50-1 = 1,46;

          S – среднее квадратическое отклонение = = = ±1,2 см;

          V – коэффициент вариации = (S/x)×100 = (1,2/19,1)×100 = 6,3%;

          – ошибка средней = S/Ön = 1,2/Ö50 = ±0,17 см;

          % - относительная ошибка (точность) =  = 0,9%.

Выводы

1. Средний размер диаметра корзинки подсолнечника составляет 19,1±0,17 см (18,93-19,27). 

2. Варьирование вариационного ряда – слабое (V<10%).

  3. Точность определения – отличная (<2%).

 

 

Лекция №7.