Теоретические распределения. Дисперсионный анализ. Корреляционный и регрессионный анализ.

    В основе эмпирических распределений (распределение результатов измерений, полученных при изучении выборки) лежат определенные математические закономерности, которые в генеральной совокупности (при n→∞) характеризуются некоторыми теоретическими закономерностями. На основе теоретических распределений построены статистические критерии, которые используются для проверки некоторых гипотез. Чаще всего в НИР опираются на нормальное распределение или специальные распределения, полученные из нормального, для конкретно поставленной задачи и при ограниченном числе степеней свободы (критерий t, F, χ², Пуассона).

    Для нормального (гауссового) распределения характерно:

в области µ ± ϭ лежит 68,26% (2/3) всех значений всех наблюдений;

внутри пределов µ ± 2ϭ – 95,46% всех значений случайной величины;

интервал µ ± 3ϭ охватывает 99,73% => практически все значения, где

µ - генеральная средняя, которая находится в центре распределения;

ϭ – стандартное отклонение, измеряет вариацию отдельных наблюдений около средней генеральной совокупности.

В практике агрономических исследований можно пользоваться вероятностями 0,95 – 95% и 0,99-99%, которые соответствуют 0,05-5%-ному и 0,01-1%-ному уровням значимости.

Чем стандартное отклонениеϭ больше, => больше варьирует изучаемый материал, и => более пологой становится вариационная кривая, а при малых значениях ϭ она приобретает иглообразную форму.

Рис. 1. Нормальныекривые (1, 2, 3) при разныхзначениях параметра s (Лакин Г.Ф., 1990).

t-распределение Стьюдента. Закон нормального распределения проявляется при n> 20-30. Однако часто экспериментатор проводит ограниченное число измерений, основывает свои выводы на малых выборках. В 1908г. английский химик В.Госсет открыл закон t-распределения для выборочных средних, определяемый по формуле:

х - µ        х - µ

t =      =        ,

      S           Sx

                   √ n

где в числителе отклонение выборочной средней от средней генеральной совокупности, а в знаменателе – стандартная ошибка всей генеральной совокупности.

При увеличении n> 30распределение t приближается к нормальному и переходит в него при n→∞.

Распределение t-Стьюдента очень важно в работе с малыми выборками: позволяет определить доверительный интервал, накрывающий среднюю арифметическую всей совокупности µ, и проверить ту или иную гипотезу относительно генеральной совокупности.

F-распределение Фишера. Если у нормально распределенной совокупности взять 2 независимые выборки объемом n₁ и n₂ и подсчитать дисперсии S₁²и S₂² со степенями свободы ν₁ = n₁ - 1и ν₂ = n₂ – 1, то можно определить отношение дисперсий: F = S₁²/ S₂². Отношение дисперсий берут таким, чтобы в числителе была большая дисперсия, и =>F≥ 1.

В дисперсионном анализе соотношение дисперсии вариантов S_V² / S_Z², является основным критерием, дающим общую оценку достоверности разниц между средними арифметическими или общую оценку достоверности опыта. F = S_V²: S_Z². Вычисленный критерий F₀₅ (фактический) сравнивают с теоретическимF_табл.. ЕслиF_факт. ≥ F_теор., в опыте доказана достоверность различий между средними арифметическими, т.е. в опыте одна или несколько пар вариантов, между средними х которых есть достоверная разница, а если F_факт.<F_теор, то она отсутствует.

Дисперсионный анализ – основной и наиболее распространённый метод математической обработки результатов исследований. Он позволяет оценить методику исследований по величине относительной ошибки (точности) – S %, и достоверность разницы между вариантами.

Если Sx% менее 2%, точность отличная, нарушений методики нет.

Если 2 <Sx% < 4% - хорошая точность;

если 4 <Sx% < 5% - удовлетворительная точность;        

если Sx% более 5% - точность опыта низкая.

Если разница между вариантами больше (с плюсом или минусом) НСР – она существенна, меньше НСР – несущественна.

1. Пример статистической обработки урожайных данных исследований методом дисперсионного анализа в однофакторном полевом опыте: ”Влияние боронования на урожай подсолнечника”

Условные (статистические) обозначения:

l – число вариантов в опыте;

n – количество повторений;

Х – поделяночный урожай;

Х – средний урожай по вариантам;

Х_p - средний урожай по повторениям;

Х₀ – средний урожай по опыту;

d – разница между вариантами и контролем;

А – произвольное начало (округленное до целого числа значение ₀);

V – сумма по вариантам;

Р – сумма по повторениям;

V_A – cумма отклонений от А по вариантам;

Р_А – сумма отклонений от А по повторениям;

С – корректирующий фактор;

С_У – общее варьирование (общая дисперсия);

С_V - варьирование вариантов (дисперсия вариантов);

С_Р – варьирование повторений (дисперсия повторений);

С_Z – случайное варьирование (остаточная дисперсия);

n - число степеней свободы;

Sx – ошибка опыта;

Sx % - точность опыта (относительная ошибка);

НСР₀₅ – наименьшая существенная разность (для 5%-го уровня

          значимости);

å - сигма, знак суммирования;

F₀₅ – критерий Фишера F;

t₀₅ - критерий Стьюдента t;

Н₀ – нулевая гипотеза.

Исходные данные и расчетные показатели оформляются в таблицу.

№ вар.	Варианты	Х	V	X	d	X-A	VA	(X-A)^2	V^2A
		І ІІ ІІІ IV				І ІІ ІІІ IV		І ІІ ІІІ IV
1 2 3								å(X-A)^2	åV^2A
	P XP							åp^2A	[å(X-A]^2

Порядок проведения расчетов по дисперсионному анализу.

І. Средний урожай по опыту = ₀=ΣХ/n∙l = 263,1 / 4^.3=21,9 (табл. 5).

ІІ. Произвольное начало = А = 22 (округлённое до целого числа ₀).

ІІІ. Общая сумма квадратов отклонений от А = å(Х-А)² =    

=2,25+2,25+0,36+0,01+0,01+1,00+0,16+0,09+0,36+0,64+0,64 = 7,77.

IV. Сумма квадратов отклонений от А по вариантам = V_A² =

=13.64+2.25+1.69 = 17,63.

V. Сумма квадратов отклонений от А по повторениям = Р_А² =

=1,44+4,00+1,44+1,21 = 8,09.

VI. Квадрат суммы отклонений от А = [å(X-A)]² = 0,9² = 0,81.

VII. Корректирующий фактор = С = [å(X-A)]²/l×n = 0,81/12 = 0,07.

VIII. Общая дисперсия = С_У = Σ(Х-А)²-С = 7,77-0,07 = 7,70 =100%.

IX. Дисперсия повторений = С_Р = ΣР²_А/l – C = 8,09: 3 – 0,07 = 2,63=34%.

Х. Дисперсия вариантов = С_V  = ΣV²_A/n – C = 17,63: 4 – 0,07 = 4,34=56%.

ХІ. Остаточная дисперсия = С_Z = C_У – (С_Р + С_V) = 7,70 – 6,97 = 0,73=10%.

Результаты дисперсионного анализа

Дисперсия	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат S^2	F05
				факт.	табл.
Общая – СУ Повторений-СР Вариантов - СV	7,70 2,63 4,34	(ln-1) = 11 (n-1) = 3 (l-1) = 2	- - СV:(L-1)=2,17	18,08	5,14
Остаточная-СZ	0,73	(l-1)(n-1)=6	СZ/(n-1)(L-1)= =0,12	-	-

 

Таблица 5. Статистическая обработка урожайных данных методом дисперсионного анализа

 

Варианты опыта	Х				V		d	X – A				VА	(X – A)^2				VА^2
	I	II	III	IV				I	II	III	IV		I	II	III	IV
Без боронования	20,5	20,5	21,4	21,9	84,3	21,1	-	-1,5	-1,5	-0,6	-0,1	-3,7	2,25	2,25	0,36	0,01	13,69
Боронование до всходов	22,0	22,1	23,0	22,4	89,5	22,4	+1,3	0,0	+0,1	+1,0	+0,4	+1,5	0,00	0,01	1,00	0,16	2,25
Боронование по всходам	22,3	21,4	22,8	22,8	89,3	22,3	+1,2	+0,3	-0,6	+0,8	+0,8	+1,3	0,09	0,36	0,64	0,64	1,69
Р	64,8	64,0	67,2	67,1	263,1	21,9	РА	-1,2	-2,0	+1,2	+1,1	-0,9	1,44	4,00	1,44	1,21	0,81
р	21,6	21,3	22,4	22,4	0	21,9

 

Вывод 1-й. Если F_факт>F_табл, то нулевая гипотеза отвергается, между

               вариантами есть существенные различия, а если F_факт<F_табл,

               то нулевая гипотеза подтверждается и между вариантами нет

               существенных различий. В нашем опыте F_фактзначительно

               больше F_табл, следовательно, нулевая гипотеза отвергается и

               между вариантами имеются существенные различия.

Расчеты. S  = = = ±0,17 ц/га (ошибка опыта).

           S % = S / ₀× 100 = 0,17/21,9×100 = 0,8 % (точность опыта).

НСР₀₅ = S × ×t₀₅ = 0,17×1,4×2,45 = 0,6ц/га.

n = (n-1)(l-1) = 3×2 = 6 t₀₅ = 2,45.

Значение критерия Стьюдента (t₀₅)

ν	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
t05	12,27	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,37	2,31	2,26	2,23	2,20	2,18	2,16	2,15