Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях

 

Под событием понимается всякий факт, который может произойти в данных условиях. Теория вероятностей рассматривает события в тесной связи с теми условиями, в которых они наступают. Совокупность условий, в которых рассматривается данное событие, называют комплексом условий,а реализацию этого комплекса условий на практике – испытанием.

В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверным называется такое событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий. Достоверное событие обозначим через U.

Невозможным называется событие, которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий. Невозможное событие обозначим символом Ø.

Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Случайные события обозначим через А, В, С...

Элементарное событие – это один из нескольких возможных, но несовместных исходов того или иного опыта (испытания). Совокупность или множество их составляют пространство элементарных событий.

В общем случае пространство элементарных событий может быть любой природы: конечным и бесконечным, дискретным и непрерывным.

Пространство элементарных событий является синонимом достоверного события, так как один из его элементов непременно наступит. Кроме того, существует понятие «пустое множество». Это множество, не содержащее элементарных событий.

Очевидно, что пустое множество является синонимом невозможного события. При изучении случайных событий в ходе разработки математических моделей экономических систем используется, как правило, не одно, а группа событий, между которыми существуют определенные соотношения, позволяющие выражать одни события через другие.

Рассмотрим эти соотношения.

1. Событие А содержится в событии В ().   Если при каждом испытании, при котором происходит событие А,непременно происходит и событие В,то говорят, что событие А содержится в событии Д или принадлежит событию В.

2. Тождественные события (А = В).Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в событии А,то говорят, что события A и В тождественны, или равносильны.

3. Произведение событий. Произведением (или пересечением) событий А и  В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий. Другими словами, множество С содержит элементы, принадлежащие множествам А и В. Произведение событий

записывается в виде:

 или ,

,

где  – знак пересечения.

4. Несовместные события. События А и В называются несовместными, если их совместное появление при испытании невозможно. Условие несовместности записывается в виде:

 Ø.

5. Сумма событий (объединение событий).Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Множество С содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В:

 или ,

,

где  – знак объединения.

6. Полная группа событий. События А и В составляют полную группу событий, если при реализации заданного комплекса условий непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех таких событий есть событие достоверное:

С= А + В = U.

7. Противоположное событие. Два события А и А (читается «не А») называются противоположными, если они составляют полную группу несовместных событий, т.е. удовлетворяют условию:

;  Ø.

Всякому событию при данном комплексе условий соответствует определенная степень возможности. Более возможные события при многократных испытаниях в среднем наступают чаще, а менее возможные – реже. Частотой события называется отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие, и общего числа испытаний. Частота события А равна:

,

где n – общее число испытаний;  m (A) число испытаний в которых наступило событие А.

Частота достоверного события U равна единице: 

.

Частота невозможного события равна нулю:

(Ø) =

Частота случайного события А находится в интервале [0;1]:

.

Количественной мерой степени возможности появления события для заданного комплекса условий является вероятность события. Чем более возможно появление случайного события, тем больше его вероятность. Наоборот, чем менее возможно появление события, тем меньше его вероятность. Вероятность и частота события тесно связаны между собой. Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать, что

.

Такой способ определения вероятности события Р (А)   называется статистическим.

Случайные события могут быть представлены через случайные величины. Понятие «случайная величина» расширяет область применения вероятностных методов в решении практических задач, позволяет исследовать более сложные случайные явления. Случайной называется такая величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое именно.

Если повторять испытания, то результатом каждого будет какое-либо одно значение случайной величины из множества возможных. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные. Множество значений дискретной случайной величины конечно или счетно, например:

• количество отказов автомобилей автопредприятия в течение рабочей смены;

• число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в течение одного часа получать заработную плату и т. д.

Множество значений непрерывной случайной величины представляет собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо интервалу числовой оси, например:

• расход топлива на километр пробега;

• время безотказной работы автомобиля и т. д.

Кроме дискретной и непрерывной случайных величин встречаются случайные величины смешанного типа, для которых наряду с участками непрерывных значений имеются отдельные, изолированные значения.

Для того чтобы задать случайную величину, необходимо задать множество значений, которые она может принимать. Однако одного перечня значений случайной величины еще недостаточно для каких-либо существенных выводов. Нужно еще знать, как часто, т.е. с какой вероятностью, она принимает эти значения. Ответ на поставленный вопрос дает исчерпывающая характеристика случайной величины – закон ее распределения.

Закон распределения представляет собой соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале (и, в частности, вероятности любых значений случайной величины). Основными формами закона распределения являются: ряд распределения, функция распределения и плотность распределения. Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности: определить вероятность появления случайной величины в любом интервале (и, в частности, вероятности любых значений случайной величины).

Ряды распределений, образованные из значений случайной величины, характеризующей количественный признак явления (события), называются вариационными.

Ряд распределения не может служить характеристикой непрерывной случайной величины, поскольку значения этой величины нельзя перечислить, так как множество их несчетно. Кроме того, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Для характеристики непрерывной случайной величины определяют вероятность появления значения случайной величины меньшего х, где х – текущая переменная, т. е. определяют вероятность события х < X. Вероятность этого события зависит от х, т. е. является функцией х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х иобозначается F (x):

Таким образом, функцией распределения случайной величины X называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина Х  примет любое значение, меньшее х.

Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [ а, b)равна разности значений функции распределения в точках b и а:

.

Функция распределения есть неубывающая функция, значения которой начинаются с нуля и доходят до единицы, причем в отдельных случаях функция может иметь скачки – разрывы. Функцию распределения дискретной случайной величины можно определить, зная ее ряд распределения, по формуле

.

Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, то определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого интервала [ х, х + ∆ х), примыкающего к х. Разделив эту вероятность на длину интервала ∆ х, находят среднюю плотность вероятности и при неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является плотностью распределения в точке х:

.

Плотность распределения   f (х)есть предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок и длины этого участка при ее неограниченном уменьшении.

Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок [ а, b)равна:

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, т. е. . Это очевидно, так как указанный интеграл выражает вероятность достоверного события – попадания случайной величины на участок от – ∞ до ∞, а значит, равен единице.

График плотности распределения называется кривой распределения, лежащей в верхней полуплоскости. Кривая распределения совместно с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице.

Рис.3.1 График плотности распределения (кривая распределения)

 

Вероятность попадания на участок [ а, b)равна площади ограниченной кривой распределения, опирающейся на участок [ а, b) (на рис. 1 – заштрихованная площадь).

Плотность распределения есть производная функции распределения.

С другой стороны,

,

откуда

.

Величину F (x)называют интегральной функцией распределения величины X. Величина - дифференциальная функция распределения случайной величины X. Для оценки особенностей законов распределения случайных величин определяют числовые характеристики этих величин.