Этапы построения математических моделей

1. Содержательная постановка задачи моделирования: перечень сформулированных в содержательной форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих исследователя.

Это словесно-смысловое описание объекта или явления, которое содержит сведения об его природе и целях его исследования. Данный этап является ключевым для процесса математического моделирования, от качества модели зависит судьба всего последующего анализа. Основным назначением этого этапа является анализ неопределенностей и формализация понятия цели (формирование целевой функции, критерия).

2. Концептуальная постановка задачи моделирования - это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих исследователя, и совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

На этом этапе строится некоторая идеализированная модель объекта, для чего формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении внутренних параметров.

Таким образом, отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными в поведении объекта моделирования, и выделяются наиболее значимые для целей исследования его свойства и связи.

3. Математическая постановка задачи моделирования – это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

На этом этапе осуществляется выбор и формулировка закона (вариационного принципа, аналогии, закона сохранения и т.п.), которому подчиняется объект, и его запись в математи­ческой форме: выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства. К числу первых в физике и механике относятся, например, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверждены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применяются в соответствующих математических моделях как данность. Соотношения второго класса в физике и механике называют определяющими, или физическими уравнениями, или урав­нениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жид­костей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздействиях различных внешних факторов. Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю. Необходимо отметить, что определяющие соотношения – это основной элемент, «сердцевина» любой математической модели. Именно ошибки в выборе или становлении определяющих соотношений приводят к неверным результатам моделирования. Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. Для обеспечения корректности постановки задачи к оператору модели добавляются начальные и/или граничные условия.

4. Выбор и обоснование метода решения задачи. Выбор метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае если математическая задача допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного.

5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ (численный эксперимент, аналитические исследования).

6. Проверка адекватности модели. Проверка адекватности модели преследует две цели:

1) убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок;

2) установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной модели выполняется путем сравнения с экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. При этом должна учитываться: точность получения экспериментальных результатов, точность исходных данных или особенности постановок тестовых задач.

Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения.

При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей в распределении исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, положительное или отрицательное значение параметра, его возрастание или убывание и т.д.).

Вопрос о количественном сравнении можно ставить лишь после удовлетворительного ответа на вопрос о качественном соответствии результатов.

Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам:

1) значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез;

2) принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно;

3) неверна исходная совокупность гипотез.

Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта (с целью накопления новой дополнительной информации об его поведении), так и самой модели (с целью уточнения границ ее применимости).

7. Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования.

      Данный этап включает оценку и обобщение результатов вычислений по следующим направлениям:

- выявление закономерностей, которые позволяют оптимизировать или уточнить процесс;

-  уточнение области применения модели и оценка возможности ее упрощения с целью повышения эффективности при сохранении требуемой точности; возможности дальнейшего развития модели;

- проведение параметрических исследований с целью определения влияния отдельных характеристик системы или процесса на выходные параметры, которые определяются в результате моделирования.

Завершается этот этап оформлением полученных результатов и разработкой рекомендаций по использованию модели.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте характеристику основных положений теории моделирования.

2. В чем суть физического моделирования?

3. Какое моделирование называют масштабным?

4. Какое моделирование называют полунатуральным?

5. Перечислите виды физического подобия.

6. В чем отличие физического от математического моделирования?

7. Как называется сходство модели и оригинала по одному из признаков их формы и структуры?

8. В чем суть системного подхода, используемого при решении инженерных задач?

9. Что такое иерархичность?

10. Перечислите традиционно инженерные задачи.

11. Какие проблемы решаются в технологических задачах?

12. Что понимается под формализмом?

13. Как оценивается сложность объекта?

14. Укажите, какие задача решаются с помощью идеализации объекта.

15. Поясните суть детализации.

16. Как оценивается структурная сложность?

17. Поясните термин параметрическая сложность.

18. Что такое изоморфизм?

19. Дайте определение мономорфизма.

20. Что такое полиморфизм?

21. Что понимается под принципом упрощения?

22. Какие требования предъявляются к математическим моделям?

23. Как оценивается точность математических моделей?

24. Как оценивается степень универсальности математических моделей?

25. В чем суть имитационного моделирования?

26. В чем суть аналитического моделирования?

27. Что отображают аналоговые математические модели?

28. Что отражает принцип несоответствия?

29. Какие математические модели называют дискретными?

30. Что понимается под адекватностью математической модели?

31. В чем суть концептуальной постановки задачи моделирования.

32. Как оценивается адекватность модели?

33. От чего может зависеть решение о точности модели?

34. В чем суть концептуальной постановки задачи моделирования.

35. В каком виде реализуются математические модели?

36. Как оценивается адекватность модели?

37. Виды алгоритмических моделей

38. От чего может зависеть решение о точности модели?

ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА